北师大版八年级上册数学期末试卷4（含答案）

北师大八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列各数中，为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知正比例函数，其中的值随的值增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题是假命题的是(    )

A. 全等三角形的面积相等．
B. 两直线平行，同位角相等．
C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角．
D. 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．

7.  某中学青年志愿者协会的名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：

关于志愿者服务时间的描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

8.  九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  的立方根是______．

10.  如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是        ．

11.  将直线向上平移个单位长度，平移后直线的表达式为        ．

12.  如图，在中，，，平分外角，则的度数为        ．

13.  如图，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解是        ．

14.  比较大小 ______ ．

15.  若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为        ．

16.  如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯上沿的点处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底与面包渣相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为        杯壁厚度不计．

17.  如图，四边形的对角线垂直平分于点，点为边上一点，且，，，，则的长度为        ．

18.  对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下定义：点到图形上的各点的最小距离为，点到图形上各点的最小距离为，当时，称点为图形与图形的“等长点”如：点，，中，点就是点与点的“等长点”，已知点，，，连接，若点既是点与点的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点的坐标为        ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算；
解方程组：．

20.  如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，．
在平面直角坐标系中描出，，三点，连接，，；
求线段的长；
点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线．

21.  某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行子测试，测试成绩如表：

如果将学历、能力和态度三项得分按：：的比例确定录用人选，那么被录用的应聘者是        ；
根据实际需要，公司将学历、能力和态度三项得分按：：的比例确定各人的测试成绩，那么谁将被录用？并说明理由．
如果你是这家公司的招聘负责人，请按你认为的各项“重要程度”设计出三项得分比例，以此为依据确定录用者，并简要叙述你这样设计比例的理由．

22.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，直线：与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为．
求直线的函数表达式；
点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，与直线交于点，若，求线段的长．

23.  在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．
如图，当点和点重合时，求证：；
如图，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
如图，连接，，若，求的面积．
 

24.  某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：

若批发黄瓜和茄子共花元，则黄瓜和茄子各多少千克？
设批发了黄瓜千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是元，求与的函数关系式．

25.  如图，在中，，，点为中点，连接，点在线段上，连接，与交于点，过点作的垂线，分别交，于点，．
求证：≌；
若，求证：；
在的条件下，若，求的长．

26.  在直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，点直线：与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点．
若点坐标为．
求的值；
点在直线上，若，求点的坐标；
点是线段的中点，点为轴上一动点，是否存在点使为以为直角边的等腰直角三角形若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
运用无理数的概念进行逐一辨别．
此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关概念进行正确地求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记掌握勾股定理的逆定理是解此题的关键，如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的加法法则和二次根式的乘法法则逐个判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图可知，这个点在第二象限，
在第一象限，
故A不符合题意；
在第二象限，
故B符合题意；
在第三象限，
故C不符合题意；
在第四象限，
故D不符合题意，
故选：．
由图可知，这个点在第二象限，根据平面直角坐标系内每个象限内点坐标的符号特征分别判断即可．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正比例函数，其中的值随的值增大而减小，
，
，
故选：．
根据正比例函数的增减性可知，进一步求解即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
C、两个角相等，它们不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的性质、平行线的性质、对顶角的概念、等腰三角形的性质判断即可．
本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数是和，中位数是，平均数为，
则方差为，
故选：．
根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱，
；
如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
的立方根根是：．
故答案是：．
如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知


，
故答案为：．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位，得到的直线的解析式为．
故答案为：．
根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数，若函数图象向上平移个单位，则平移的直线解析式为．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
平分外角，
，
，
故答案为：．
先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等量代换即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线相交于点，
方程组的是，
故答案为：．
根据点的坐标即为方程组的解，即可得到结论．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
 

14.【答案】解：



；
，
，得：，
解得，
将代入，得：，
该方程组的解为． 

【解析】先算乘方，再算乘法，最后合并同类二次根式即可；
根据加减消元法可以解答此方程组．
本题考查二次根式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和解二元一次方程组的方法．
 

15.【答案】解：如图所示．
．
如图，直线即为所求． 

【解析】根据，，三点的坐标描点再连线即可．
利用勾股定理求解即可．
利用网格，作线段的垂直平分线即可．
本题考查作图轴对称变换、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
 

16.【答案】甲 

【解析】解：甲的得分为分，
乙的得分为分，
丙的得分为分，
，
即甲乙丙，
甲将被录用．
故答案为：甲；
丙将被录用，理由如下：
甲的平均分为分，
乙的平均分为分，
丙的平均分为分，
，
丙将被录用；
将学历、能力和态度三项得分按：：的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为工作态度比学历更重要答案不唯一．
求出各人的总分即可得出答案；
根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案；
将学历、能力和态度三项得分按：：的比例确定各人的测试成绩确定录用者即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

17.【答案】解：的横坐标为，在上，
的纵坐标是，
的坐标是，
在上，
，
，
直线的函数表达式为；
设的坐标是，
的纵坐标是，的纵坐标是，
，
直线，在轴上的截距分别是和，
，
，
，
或．
的长是或． 

【解析】由条件求出的纵坐标，把的坐标代入，求出的值即可；
设的坐标是，用表示出，的纵坐标，即可表示出的长，由，即可求出的值，从而求出的长．
本题考查一次函数的性质，用待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握一次函数的性质．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，
，
；
解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠知：，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
如图，

作于，交于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
． 

【解析】可证得，从而得出结论；
可证得，，设，在中根据勾股定理列出方程，从而求得结果；
作于，交于，可证得是矩形的对称轴，在中求得，进而求得，进一步求得结果．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
即，
故答案为：．
先估算出的范围，再求出的范围，再得出答案即可．
本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出的大小是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
．
故答案为：．
得出，求出，把代入求出，把、的值代入方程得出，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出和是解此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
，，
连接，则即为最短距离，．
故答案为：．
将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

22.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
是直角三角形，
，
，，
，
，
故答案为：．
利用线段垂直平分线的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，再根据已知，可得，从而求出，进而利用三角形的面积求出，然后求出的长，从而在中，求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后在中，利用勾股定理，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及三角形的面积公式是解题的关键．
 

23.【答案】或 

【解析】解：如下图：

根据题意：或符合题意，
故答案为：或．
根据题意画出图形，根据线段的垂直平分线的性质，结合图形求解．
本题考查了坐标与图形的性质，数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：设批发黄瓜千克，则批发茄子千克，
由题意可得：，
解得，
，
答：批发黄瓜千克，批发茄子千克；
由题意可得，
，
即与的函数关系式是． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意和表格中的数据，可以写出与的函数关系式．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式．
 

25.【答案】证明：，，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；

证明：连接．
，，
平分，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；

由可知，
，
，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
连接，证明，推出，由，推出，可得结论；
求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找求三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：当时，，即点，
将点的坐标代入得：，
解得：；
由点、、的坐标得：，，
则，
由、的坐标得：，
设的底边上的高为，
则，
解得：，
由直线的表达式知，，则，
取，作直线，过点作于点，过点作轴于点，则直线和直线的交点即为点，
则为等腰直角三角形，则，
则点，

设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
则直线的表达式为：，
联立直线和并解得：，
即点的坐标为；
当点在直线上方时，同理可得：点；
综上，点的坐标为：或；

存在，理由：
设点，则点，
过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点、，
为以为直角边的等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
≌，
，
即，
解得：，
则点，
将点的坐标代入并解得：． 

【解析】待定系数法即可求解；
当点在下方时，取，作直线，过点作于点，过点作轴于点，则直线和直线的交点即为点，进而求解，当点在上方时，同理可解；
证明≌，得到，即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等，面积的计算等，分类求解是本题解题的关键．