2022-2023学年湖北省荆州市公安县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省荆州市公安县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下各数是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是(    )

A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于 D. 勾股定理

6.  如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了在如下定理中：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
对角线相等的平行四边形是矩形，
矩形的四个角都是直角，
三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8.  如图是边长为的的正方形网格，已知，，三点均在正方形格点上，在上运动，则点的最短长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如果一个直角三角形的两条直角边的长分别是和，那么这个直角三角形斜边长是______．

12.  如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为______ ．

13.  ______．

14.  如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是秒，乙客轮航行的速度是秒，分钟后甲到达地，乙到达地若，两地的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向是______ ．

15.  若，都是实数，，则的值为______ ．

16.  如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，，求下列格式的值：
；
．

19.  本小题分
在的网格图中每个小正方形的边长为，用无刻度直尺按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
在图中以为顶点作一个面积为的正方形顶点都在格点上；
在图中作出格点三角形的中位线，使点在上，点在上，则的长为______ ．

20.  本小题分
如图，是平行四边形的对角线，点，在上，且，连接，求证：．

21.  本小题分
如图，公路和公路在点处交汇，，点处有一所学校假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由如果受影响，请求出受影响的时间已知汽车的速度为秒

22.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长度．

23.  本小题分
我们知道：，这一化简变形过程叫做分母有理化，类似地：，
式子也可以这样化简：，这样化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答下列问题：
直接写出化简结果： ______ ， ______ ；
用两种不同的方法化简：；
化简：．

24.  本小题分
【了解概念】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，线段，的端点均在格点上，在图的网格中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；
如图，在等邻边四边形中，，，，，求四边形的面积；
【拓展提升】
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，已知，，是的中点在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角，不符合题意；
B、，能构成直角三角，符合题意；
C、，不能构成直角三角，不符合题意；
D、，不能构成直角三角，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，两个根式的被开方数不能加减，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选：．
直接根据二次根式的加减乘除运算进行排除选项．
本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为、、，
，
以、、为边长的三角形是直角三角形．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断．
此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论．
本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，即：，
，
的值应在和之间．
故选：．
原式利用二次根式乘除法运算法则计算得到结果，估算即可．
此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

 【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，求的面积时，利用了分割法和三角形的面积公式，注意“数形结合”思想的应用．连接，利用勾股定理求得边的长度，然后由等面积法求得点到线段所在直线的距离．
【解答】
解：

如图，连接，
，
当时，最短，

，
所以．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，

四边形为菱形，，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
故选：．
过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理及含直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如图所示，连接，

在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，则有，
点、、共线，
即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得，
，
；
当点落在边上时，如图所示，

此时四边形为正方形，
，
，
综上所述，的长为或，
故选：．
当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如图所示，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出；即可解答；
当点落在边上时，如图所示，此时四边形为正方形．继而得出答案．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
 

11.【答案】 

【解析】解：两条直角边的长分别是和，
斜边，
故答案为：．
根据勾股定理列式求出斜边的长即可．
本题考查了勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
又为的中点，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得．
此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用平方差公式进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

14.【答案】北偏西 

【解析】解：如图，

甲的路程：，
乙的路程：，
，即：，
，即甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，即：，
，
乙客轮的航行方向是北偏西，
故答案为：北偏西．
首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：要有意义，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，
在正方形中，，，，
是等腰直角三角形，，
平分，，，
，
，
，
，
在中，，
即：
，
线段的长为．
故答案为：．
分析题目需要添加辅助线，先过作于，由平分线的性质得出，再在中，根据勾股定理求解即可．
此题考查正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理列方程进行计算．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
根据二次根式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，，



；
，
，，



． 

【解析】先将原式用平方差公式分解为，再代值计算即可；
先将原式提公因式变形为，再代值计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，四边形即为所求作的正方形；

理由：，，
，
，
四边形为正方形．
如图，线段即为所求作的中位线；

理由：由矩形的性质可得：，，
是的中位线．
，
．
故答案为：．
确定格点，，，满足，且，从而可得结论；
取格点，，，连接，，分别交，于，，再利用中位线的性质可得答案．
本题考查的是复杂作图，同时考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定，矩形的性质，三角形中位线的性质，熟练的利用矩形与正方形的判定进行作图是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，可得，然后根据可得，利用证明≌，得出，由平行线的判定可得出．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等的性质．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点，

，，
，
，
学校会受到噪音的影响；
设从点开始学校学到影响，点结束，则，
又，
，
由勾股定理得：，
，
汽车的速度为，
受影响的时间为：． 

【解析】过点作于点，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点开始学校学到影响，点结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
本题是直角三角形性质的应用，考查了含度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，
又，，
，，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
四边形是菱形，
，
． 

【解析】由菱形的性质得到，由，得出，根据矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到，由垂直的定义得出直角是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，
故答案为：； ；
解法：；
解法：；





．
根据题目中例题方法计算即可；
由题目中例题采用的两种化简方法依次进行计算即可；
由和的化简方法，将其先变形为形式，然后根据例题化简即可得出结果．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

24.【答案】解：如图所示，四边形即为所求；
，
四边形是“等邻边四边形”；

如图所示，连接，作交的延长线于，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；

如图所示，当时，过点作轴于，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
设交于，交于，
当点从点向点运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，
此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，
是的中点，，
，
，
逐渐变大，逐渐变大，
逐渐变大，
当点运动到点时，最大，
，
；

如图所示，当时，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
，为定值，
当最大时，最大，
当点到的距离最大时，最大，
此时点在过点且与平行的直线上，且该直线与相切，
此时，
在中，由勾股定理得，
；

如图所示，当时，则点在线段的垂直平分线上，
当点运动到上时，此时最大，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，则，
；
，
存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为．
 

【解析】根据“等邻边四边形”的定义画图即可；
连接，作交的延长线于，，可证是等边三角形，再利用为直角三角形，求出的长，然后求，的面积即可得到答案；
如图所示，当时，过点作轴于，可以得到当点从点向点运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，即此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，即可得到当点运动到点时，最大；如图所示，当时，当点在过点且与平行的直线上时，最大；如图所示，当时，则点在线段的垂直平分线上，可以得到当点运动到上时，此时最大；据此求出这三种情况下的的最大值即可得到答案．
本题主要考查了四边形综合，切线的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．