2022-2023学年人教版九年级下第二十六章反比例函数单元练习题（含解析）

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2022-2023学年人教版九年级下第二十六章反比例函数
单元练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．如果反比例函数的图象经过点P（﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝x D．y＝﹣x
2．若反比例函数的图像经过，则的值是（    ）
A． B． C． D．
3．如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4）．四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y=的图象经过点C和AB边的中点D，则点D的坐标为（　　 ）

A．（2，4） B．（4，2） C．（，3） D．（3，）
4．对于反比例函数，下列说法错误的是（    ）
A．它的图象与坐标轴永远不相交 B．它的图象绕原点旋转180°能和本身重合
C．它的图象关于直线对称 D．它的图象与直线有两个交点
5．如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（    ）

A． B．或 C．或 D．或
6．如图，在平面直角坐标系中，直线（，为常数）与双曲线（，为常数）交于点，，若，，过点作轴，垂足为，连接，则的面积是（    ）

A．2 B． C．3 D．6
7．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点、、，分别过这个三个点作轴、轴的平行线，阴影部分图形的面积从左到右依次为、、，若，，则的值为（    ）

A．6 B．12 C．18 D．24

二、填空题
8．平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为___________．
9．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是___．

10．在平面直角坐标系xOy中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”．已知直线y＝﹣2x＋k1与y轴交于点A，与反比例函数y的图象交于点P（，m），且点P是“和谐点”，则△OAP的面积为___．
11．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有－1，2，3，4四个数，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为k，不放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为b，两次抽取完毕后，则直线与反比例函数的图象经过的象限相同的概率为______．
12．如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是______．

13．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为__．

14．一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式___________，当时，_______．


三、解答题
15．如图1，反比例函数的图象过点．

(1)求反比例函数的表达式，判断点在不在该函数图象上，并说明理由；
(2)反比例函数的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；
(3)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数图象上一个动点，过点P分别作轴交直线l于点C，作轴交直线l于点D，请判断的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．
16．阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务

(1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
17．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．

18．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则把该函数称之为“函数”．
(1)在下列关于x的函数中，是“函数”的是________（填序号）；
①，②，③
(2)若关于x的函数（h为常数）是“函数”，与（m为常数，）相交于A（，）、B（，）两点，A在B的左边，，求m的值；
(3)若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点（，1），且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求t的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．

(1)求点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．

参考答案：
1．A
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法即可得．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为，
由题意，将点代入得：，
则这个反比例函数的表达式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
2．B
【分析】将代入解析式中，即可求出的值.
【详解】解：将代入中，得
解得：
故选B.
【点睛】此题考查的是根据点所在的图像求点的坐标，将点的坐标代入解析式求点的坐标是解决此题的关键.
3．B
【分析】作CE⊥OA于E，依据反比例函数系数k的几何意义求得OE，即可求得C的坐标，从而求得点A坐标，再根据中点坐标公式即可求得D的坐标．
【详解】解：作CE⊥OA于E，如图，

∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，
∴CE=4，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴S△COE=OE•CE=×8，
∵CE=4
∴OE=2，
∴C（2，4），OA=BC=5-2=3，
∴A（3，0），
∵点D是AB的中点
∴点D的坐标为（），即D（4，2），
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义等，求得点C和点A的坐标是解题的关键．
4．D
【分析】当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A.∵反比例函数中，4＞0，∴此函数图象在一、三象限，故本选项正确；
B.∵反比例函数的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确；
C.反比例函数的图象可知，图象关于直线对称，故本选项正确；
D.∵反比例函数的图象位于第一、三象限，直线经过第二、四象限，所以直线与双曲线无交点，故本选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
5．D
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵
∴
由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，
由图象可以看出当或时，函数在上方，即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．
6．C
【分析】根据直线与双曲线都经过点A，得出，进而得到，再由直线与双曲线都经过点B，得到，进而得到，进而求出b的值，得到点A的坐标，即可得到答案．
【详解】由题，直线与双曲线都经过点A，
∴ ，得：
直线与双曲线都经过点B
，得：




将点B代入，得：




故选：C
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图像问题，根据两者的交点结合解析式求出点的坐标是解题关键．
7．B
【分析】设未知数，表示出点P、Q、R的坐标，进而表示S1、S2、S3，由S1+S3＝10列方程求解即可．
【详解】解：设OE＝ED＝DC＝a，
∵函数y（x＞0）的图象经过点P、Q、R，
∴点P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴OF，OG，OA，
∴S1＝OF•CDa，
S3＝AG•OE＝（）×a，
又∵S1+S3＝10，
∴10，
解得k＝12，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
8．##0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值．
【详解】解：∵点是函数图象上的三点，
∴，，
∴m＝n，
∴，，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入得：，
∴D（m，），
∴AD＝，
∴，
∴，
∴，
而当m＜0时，同样可得，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
9．4
【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．
【详解】解：如图：连接AD，

△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD，
∴S△AOE＝S△AOD＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
10．或
【分析】先根据“和谐点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出△OAP的面积．
【详解】解：∵点P（，m）是“和谐点”，
∴5+2|m||m|，解得m＝±10，
当m＝10时，P（，10），
把点P的坐标代入一次函数和反比例的解析式得：
k1＝5，k2＝﹣25，
∴A（0，5），
∴S△OAP．
当m＝﹣10时，P（，﹣10），
∴k1＝﹣15，k2＝25，
∴A（0，﹣15），
∴S△OAP15．
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．
11．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，直线与反比例函数的图象经过的象限相同的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：

∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为，共有12个数组，
∴直线与反比例函数的图象经过的象限相同的数组有（2，3），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，3），共有6组，
∴k，b直线与反比例函数的图象经过的象限相同的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率及一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握利用列表法或树状图列出所有等可能的结果以及一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
12．9
【分析】先求解A的坐标，再表示B的坐标，再证明利用相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】解： 点，分别在双曲线和上，轴，


轴，

轴，

而，

解得：
故答案为：9
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“反比例函数的图像与性质”是解本题的关键．
13．7
【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接OA，OB，

∵△AOB与△ACB同底等高，
∴S△AOB＝S△ACB，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOP＝3，S△BOP＝4，
∴S△ABC＝S△AOB＝S△AOP＋S△BOP＝3＋4＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．
14．         
【分析】由函数图像信息可得反比例函数过点，根据待定系数法求解析式；将代入即可求得．
【详解】反比例函数过点，
设反比例函数解析式为，
则，
反比例函数解析式为，
当时，，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，根据解析式求函数值，从图像获取信息是解题的关键．
15．(1)不在，理由见解析
(2)20
(3)不变化，24

【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；
对于（2），设点E的横坐标和点F的横坐标，再分别表示出点E，F，G，H的坐标，进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；
对于（3），设点P的横坐标为t，分别表示点C，点D的坐标，再根据两点之间的距离公式得出AC和BD的长，进而得出答案．
（1）
将点代入，
得，，
∴；
当时，，
∵，
∴点不在函数图象上；
（2）
设点E的横坐标是1，点F的横坐标是6，点G，H分别对应点E，F，如图所示.图形扫过的面积即为平行四边形EFHG的面积．

令中，，则，
所以，．
令中，，则，
所以，．
因为，且，
所以四边形EGHF为平行四边形，
所以．
故答案为：20；
（3）
不变化，理由如下：
因为直线l：与x轴，y轴分别交于点A，点B，
所以点A（8，0），B（0，8）．
设点P的横坐标是t，
所以．
因为轴交直线l于点C，轴交直线l于点D，
所以，，
所以，，
即，
所以为定值，为24.．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．
16．(1)①1；②
(2)，

【分析】（1）根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；
（2）由函数图像可知当时，，则，结合已知可得，即可求出b，得到一次函数解析式，求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
（1）
解：根据题意，
∵，当时，；当时，，
∴①；
∵，
∴②；
故答案为：①1；②；
（2）
解：由函数图像可知当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴一次函数，
当x＝－2时，，
∴A（－2，1），
将A（－2，1）代入得，
∴反比例函数．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，零次幂，反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解．
17．（1）k＝2，点G的坐标为（4，）；（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG，证明详见解析；（3）点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得：点F的坐标为（1，2），即可求解；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．证△OAB∽△BFG：，，即可求解．
（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，
∴，∴＝，∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＞0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2，
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，）；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G的坐标为（4，），∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝．
∴，．
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到旋转的性质、三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18．(1)② ③
(2)4
(3)t＝或t＝

【分析】（1）根据定义分析判断即可；
（2）作出图形，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，由xB﹣xA＝5，设CN＝x，则MC＝5﹣x，则B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，继而求得的值，即可求得的坐标，根据反比例函数的意义即可求得的值；
（3）根据题意以及二次函数的性质，待定系数求二次函数解析式，进而分类讨论，根据，即可求得的值．
（1）
解：根据定义，函数关于直线（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形
①的图象是中心对称图象，不符合题意；
②，③的图象是轴对称图形，符合题意，
故答案为：② ③
（2）
∵y＝|x-h|是“X（3）”函数，
∴h＝3，
如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点，

∴C（3，0），D（0，﹣3），
∴∠BCN＝∠OCD＝45°，
由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∵xB﹣xA＝5，
∴MN＝5，
设CN＝x，则MC＝5﹣x，
∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），
∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，
∴x＝1，
∴B（4，1），
∴m＝4；
（3）
由题意得，
解得，
∴此“X（n）函数”为y＝﹣x2+2x+4，
①当t＜1时，
x＝t时，y1＝﹣t2+2t+4，
x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3＝，
∴t＝（舍）；
②当t﹣1≥1，即t≥2时，
x＝t﹣1时，y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4，
y1-y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3＝，
∴t＝（舍）；
③当1≤t＜时，
x＝1时，y1＝5，
x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4，
y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4＝，
∴t＝，又因为1≤t＜，
∴t＝
④≤t＜2时，
x＝1时，y1＝5，
x＝t时，y2＝﹣t2十2t+4，
y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣4t+4＝，
∴t＝，又因为≤t＜2，
∴t＝
综上所述：t＝或t＝．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，根据新定义以及轴对称的性质求解是解题的关键．
19．(1)B(-1，-3)
(2)存在，或或
(3)

【分析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，证明得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先求出AB的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB=AP时有两种情况和当AB=BP时有一种情况进行求解即可；
（3）先设向上平移了m表示和的坐标，再根据B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上得和点的横、纵坐标的积相等，列出关于m的方程即可求解．
（1）
过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，如下图，

则，
∵点A(0，-6)，D(-3，-7)，
∴DF=3，AF=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DF=AE=3，AF=BE=1，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴B(-1，-3)．
（2）
存在3种情况，
由（1）得且在中
AB=AD=，
①当AB=AP时的等腰三角形，如图，

则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6+)；
②当AB=AP时，如下图，

则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6-)；
③当AB=BP时，如下图，

则BP=，且过B作BEAP于点E，
∵，
∴，
∴P点在原点上，
则P为(0，0)．
综上所述点P的坐标为或或．
（3）
设向上平移了m可得
为(-1，-3+m)，为(-3，-7+m)，
反比例函数关系式为，
∴，
解得m=9，
∴k=，
∴反比例函数解析式为：．
【点睛】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类讨论．