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2022-2023学年四川省泸州七中七年级（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省泸州七中七年级（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共20页。
2022-2023学年四川省泸州七中七年级（下）期中数学试卷（A卷）
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（ ）
A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0
2．如图，直线AB∥CD，∠1＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
5．已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D．﹣
6．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式a+2b﹣5的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
8．方程组的解为，则被遮住的两个数分别为（ ）
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
9．某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打m折促销，为了保证利润率不低于5%，则m的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
11．童装车间有55名工人，缝制一种儿童套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝35°，则有BC∥AD；④∠4+∠2＝75°．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在点C处，理由是 ．
14．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
15．若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
16．如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为 ．
三．解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．解方程组：．
18．解不等式+1，并在数轴上表示解集．
19．解不等式组．
四．解答题（共3小题，每小题8分，满分24分）
20．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试判断∠ADE与∠B的大小关系，并说明理由．
解：∠ADE与∠B的大小关系是 ．
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（ ），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（ ），
∴∠1＝∠AED（ ），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（ ），
∴ ∥BC（ ），
∴∠ADE＝∠B（ ）．
21．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
22．阅读学习：
已知实数m，n满足m+n＝5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学：观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题：
（1）选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
五．解答题（共1小题，满分10分）
23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝35°，求∠BPC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠BPC．
（1）按照小明的思路，则∠BPC的度数为 ；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），写出∠APC与α、β之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（ ）
A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0
【分析】正数就是大于0的意思，根据x的3倍与2的差大于0，可列出不等式．
解：根据题意得：3x﹣2＞0．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
2．如图，直线AB∥CD，∠1＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据平行线的性质，∠1和∠3为同位角相等，∠2和∠3为邻补角互补，因此可根据∠1求出∠2．
解：∵直线AB∥CD，∠1＝120°，
∴∠1＝∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；邻补角互补．
3．将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解两个不等式，本题可根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右小于向左．”画出数轴．
解：将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是：
故选：A．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．
解：A、∵∠3＝∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D＝∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定．注意掌握数形结合思想的应用．
5．已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D．﹣
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴3x＞3y，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴x﹣9＞y﹣9，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项符合题意；
D．∵x＞y，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
6．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式a+2b﹣5的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用二元一次方程的解，可得出a+2b＝3，再将其代入a+2b﹣5中，即可求出结论．
解：将代入原方程得a+2b＝3，
∴a+2b﹣5＝3﹣5＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
7．如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB，根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠COD，根据角的和差，可得答案．
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝50°+90°＝140°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC＝×140°＝70°．
∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°﹣50°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线，利用角的和差是解题关键．
8．方程组的解为，则被遮住的两个数分别为（ ）
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
【分析】将x＝2代入x+y＝3，可得出关于y的值，解之即可得出y的值，再x＝2，y＝1代入2x+y＝□，可求出方程组中被遮住的数．
解：将x＝2代入x+y＝3得：2+y＝3，
解得：y＝1；
将x＝2，y＝1代入2x+y＝□得：2×2+1＝□，
解得：□＝5，
∴被遮住的两个数分别为5，1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
9．某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打m折促销，为了保证利润率不低于5%，则m的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】利用利润＝售价﹣进价，结合利润率不低于5%，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：根据题意得：150×﹣100≥100×5%，
解得：m≥7，
∴m的值应不小于7．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
【分析】根据平移的性质可得BB′＝CC′＝2，列式计算即可得解．
解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴BB′＝CC′＝2cm，
∵B′C＝4cm，
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝2+4+2＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
11．童装车间有55名工人，缝制一种儿童套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“童装车间有55名工人，且缝制童装上衣的数量是缝制裤子数量的2倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵童装车间有55名工人，
∴x+y＝55；
∵1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，且2件上衣和1条裤子配成一套，
∴5x＝2×3y．
∴根据题意可列二元一次方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝35°，则有BC∥AD；④∠4+∠2＝75°．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【分析】根据∠CAB＝∠1+∠2＝90°，∠EAD＝∠3+∠2＝90°，即可得∠1＝∠3；根据角之间关系即可得∠CAD+∠2＝180°；根据角之间关系可得∠3＝65°，无法判断BC与AD平行；由题意得∠4+45°＝∠3+30°，∠2+∠3＝90°，得∠4+∠2＝75°；综上，即可得．
解：∵∠CAB＝∠1+∠2＝90°，∠EAD＝∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确；
∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°
故②正确；
∵∠2＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝65°，，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵∠4+∠CBA＝∠3+∠EDA，
即∠4+45°＝∠3+30°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠4+45°＝90°﹣∠2+30°∠4+∠2＝75°，
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在点C处，理由是 垂线段最短 ．
【分析】由垂线段最短即可进行判断．
解：∵垂线段最短，
∴核酸检测点最好设在点C处，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握垂线段的性质．
14．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 15 ．
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可．
解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
15．若不等式组无解，则m的取值范围是 m≤2 ．
【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围．
解：
解①得x＞2．
解②得x＜m，
∵不等式组无解，
∴m≤2．
故答案为m≤2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为 44cm2 ．
【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长+3个宽＝14；②2个宽+6＝1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，
解得：，
阴影部分的面积为：（6+4）×14﹣2×8×6＝44（cm2），
故答案为：44cm2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
三．解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．解方程组：．
【分析】根据加减消元法解此二元一次方程组的即可．
解：①×2﹣②，得11y＝22，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得2x+6＝8，
解得x＝1，
故方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握运用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组是关键．
18．解不等式+1，并在数轴上表示解集．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：+1，
2（x+2）≥3（2x﹣6）+12，
2x+4≥6x﹣18+12，
2x﹣6x≥﹣18+12﹣4，
﹣4x≥﹣10，
x≤2.5，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
19．解不等式组．
【分析】先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解．
解：
解不等式①，得x≤3．
解不等式②，得x＞﹣1；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
四．解答题（共3小题，每小题8分，满分24分）
20．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试判断∠ADE与∠B的大小关系，并说明理由．
解：∠ADE与∠B的大小关系是 ∠ADE＝∠B ．
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（ 对顶角相等 ），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠1＝∠AED（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（ 等量代换 ），
∴ DE ∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠ADE＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据∠2+∠3＝180°，可得∠2+∠EHG＝180°，从而得到DG∥AC，进而得到∠1＝∠AED，再由∠1＝∠C，可得∠C＝∠AED，从而得到DE∥BC，即可．
解：∠ADE与∠B的大小关系是：∠ADE＝∠B，
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（对顶角相等），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠AED（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠ADE＝∠B；对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元”列出不等式组，解之可得方案数．
解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
由题意可得，
解得，
∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设购买甲种办公桌m张，
由题意可得，
解得28≤m≤30，
∵m取整数，
∴m的取值为28或29或30，
∴共有3种方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．
22．阅读学习：
已知实数m，n满足m+n＝5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学：观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题：
（1）选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
【分析】（1）选择乙同学的方法解答；
（2）仿照（1）的方法解答即可．
解：（1），
①+②得：
17m+17n＝11k﹣3，
∴17（m+n）＝11k﹣3．
∵m+n＝5，
∴11k﹣3＝17×5，
解得：k＝8；
（2），
①+②得：
3x+3y＝6k+6，
∴x+y＝2k+2．
∵关于x、y的方程组的解互为相反数，
∴x+y＝0，
∴2k+2＝0，
解得：k＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组中的未知数的系数的特点选择恰当的方法解答是解题的关键．
五．解答题（共1小题，满分10分）
23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝35°，求∠BPC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠BPC．
（1）按照小明的思路，则∠BPC的度数为 75° ；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），写出∠APC与α、β之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠BPE＝40°，∠2＝∠EPC＝35°，则∠BPC＝∠BPE+∠EPC＝75°；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，根据平行线的性质得出∠APE＝α，∠CPE＝β，即可得出答案；
（3）分两种情况当P在BD延长线上，当P在DB延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可．
解：（1）过点P作PE∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BPE＝40°，∠2＝∠EPC＝35°，
∴∠BPC＝∠BPE+∠EPC＝75°．
故答案为：75°；
（2）∠APC＝α+β，理由如下：
如图，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）当P在BD延长线上时，∠APC＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠APC＝β﹣α；理由如下：
①如图所示，当P在BD延长线上时，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE﹣∠CPE＝α﹣β．
②如图所示，当P在DB延长线上时，
同理可得∠CPA＝β﹣α；
综上所述：当P在BD延长线上时，∠APC＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠APC＝β﹣α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角．
2022-2023学年四川省泸州七中七年级（下）期中数学试卷（A卷）
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（ ）
A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0
2．如图，直线AB∥CD，∠1＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
5．已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D．﹣
6．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式a+2b﹣5的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
8．方程组的解为，则被遮住的两个数分别为（ ）
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
9．某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打m折促销，为了保证利润率不低于5%，则m的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
11．童装车间有55名工人，缝制一种儿童套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝35°，则有BC∥AD；④∠4+∠2＝75°．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在点C处，理由是 ．
14．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
15．若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
16．如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为 ．
三．解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．解方程组：．
18．解不等式+1，并在数轴上表示解集．
19．解不等式组．
四．解答题（共3小题，每小题8分，满分24分）
20．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试判断∠ADE与∠B的大小关系，并说明理由．
解：∠ADE与∠B的大小关系是 ．
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（ ），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（ ），
∴∠1＝∠AED（ ），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（ ），
∴ ∥BC（ ），
∴∠ADE＝∠B（ ）．
21．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
22．阅读学习：
已知实数m，n满足m+n＝5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学：观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题：
（1）选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
五．解答题（共1小题，满分10分）
23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝35°，求∠BPC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠BPC．
（1）按照小明的思路，则∠BPC的度数为 ；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），写出∠APC与α、β之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（ ）
A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0
【分析】正数就是大于0的意思，根据x的3倍与2的差大于0，可列出不等式．
解：根据题意得：3x﹣2＞0．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
2．如图，直线AB∥CD，∠1＝120°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据平行线的性质，∠1和∠3为同位角相等，∠2和∠3为邻补角互补，因此可根据∠1求出∠2．
解：∵直线AB∥CD，∠1＝120°，
∴∠1＝∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；邻补角互补．
3．将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先解两个不等式，本题可根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右小于向左．”画出数轴．
解：将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是：
故选：A．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．
解：A、∵∠3＝∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D＝∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定．注意掌握数形结合思想的应用．
5．已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D．﹣
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴3x＞3y，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴x﹣9＞y﹣9，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项符合题意；
D．∵x＞y，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
6．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式a+2b﹣5的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用二元一次方程的解，可得出a+2b＝3，再将其代入a+2b﹣5中，即可求出结论．
解：将代入原方程得a+2b＝3，
∴a+2b﹣5＝3﹣5＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
7．如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB，根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠COD，根据角的和差，可得答案．
解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝50°+90°＝140°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC＝×140°＝70°．
∵∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°﹣50°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线，利用角的和差是解题关键．
8．方程组的解为，则被遮住的两个数分别为（ ）
A．2，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
【分析】将x＝2代入x+y＝3，可得出关于y的值，解之即可得出y的值，再x＝2，y＝1代入2x+y＝□，可求出方程组中被遮住的数．
解：将x＝2代入x+y＝3得：2+y＝3，
解得：y＝1；
将x＝2，y＝1代入2x+y＝□得：2×2+1＝□，
解得：□＝5，
∴被遮住的两个数分别为5，1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
9．某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场准备打m折促销，为了保证利润率不低于5%，则m的值应不小于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】利用利润＝售价﹣进价，结合利润率不低于5%，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：根据题意得：150×﹣100≥100×5%，
解得：m≥7，
∴m的值应不小于7．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到对应的△A′B′C′．若B′C＝4cm，则BC′的长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm
【分析】根据平移的性质可得BB′＝CC′＝2，列式计算即可得解．
解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴BB′＝CC′＝2cm，
∵B′C＝4cm，
∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝2+4+2＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
11．童装车间有55名工人，缝制一种儿童套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“童装车间有55名工人，且缝制童装上衣的数量是缝制裤子数量的2倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵童装车间有55名工人，
∴x+y＝55；
∵1名工人一天可缝制童装上衣5件或裤子3条，且2件上衣和1条裤子配成一套，
∴5x＝2×3y．
∴根据题意可列二元一次方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝35°，则有BC∥AD；④∠4+∠2＝75°．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【分析】根据∠CAB＝∠1+∠2＝90°，∠EAD＝∠3+∠2＝90°，即可得∠1＝∠3；根据角之间关系即可得∠CAD+∠2＝180°；根据角之间关系可得∠3＝65°，无法判断BC与AD平行；由题意得∠4+45°＝∠3+30°，∠2+∠3＝90°，得∠4+∠2＝75°；综上，即可得．
解：∵∠CAB＝∠1+∠2＝90°，∠EAD＝∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
故①正确；
∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°
故②正确；
∵∠2＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝65°，，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵∠4+∠CBA＝∠3+∠EDA，
即∠4+45°＝∠3+30°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠4+45°＝90°﹣∠2+30°∠4+∠2＝75°，
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在点C处，理由是 垂线段最短 ．
【分析】由垂线段最短即可进行判断．
解：∵垂线段最短，
∴核酸检测点最好设在点C处，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握垂线段的性质．
14．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 15 ．
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可．
解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
15．若不等式组无解，则m的取值范围是 m≤2 ．
【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围．
解：
解①得x＞2．
解②得x＜m，
∵不等式组无解，
∴m≤2．
故答案为m≤2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为 44cm2 ．
【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长+3个宽＝14；②2个宽+6＝1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，
解得：，
阴影部分的面积为：（6+4）×14﹣2×8×6＝44（cm2），
故答案为：44cm2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
三．解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）
17．解方程组：．
【分析】根据加减消元法解此二元一次方程组的即可．
解：①×2﹣②，得11y＝22，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得2x+6＝8，
解得x＝1，
故方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握运用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组是关键．
18．解不等式+1，并在数轴上表示解集．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：+1，
2（x+2）≥3（2x﹣6）+12，
2x+4≥6x﹣18+12，
2x﹣6x≥﹣18+12﹣4，
﹣4x≥﹣10，
x≤2.5，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
19．解不等式组．
【分析】先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解．
解：
解不等式①，得x≤3．
解不等式②，得x＞﹣1；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
四．解答题（共3小题，每小题8分，满分24分）
20．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试判断∠ADE与∠B的大小关系，并说明理由．
解：∠ADE与∠B的大小关系是 ∠ADE＝∠B ．
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（ 对顶角相等 ），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠1＝∠AED（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（ 等量代换 ），
∴ DE ∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠ADE＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据∠2+∠3＝180°，可得∠2+∠EHG＝180°，从而得到DG∥AC，进而得到∠1＝∠AED，再由∠1＝∠C，可得∠C＝∠AED，从而得到DE∥BC，即可．
解：∠ADE与∠B的大小关系是：∠ADE＝∠B，
证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠3＝∠EHG（对顶角相等），
∴∠2+∠EHG＝180°，
∴DG∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠AED（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠AED（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠ADE＝∠B；对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元”列出不等式组，解之可得方案数．
解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
由题意可得，
解得，
∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设购买甲种办公桌m张，
由题意可得，
解得28≤m≤30，
∵m取整数，
∴m的取值为28或29或30，
∴共有3种方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．
22．阅读学习：
已知实数m，n满足m+n＝5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学：观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题：
（1）选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
【分析】（1）选择乙同学的方法解答；
（2）仿照（1）的方法解答即可．
解：（1），
①+②得：
17m+17n＝11k﹣3，
∴17（m+n）＝11k﹣3．
∵m+n＝5，
∴11k﹣3＝17×5，
解得：k＝8；
（2），
①+②得：
3x+3y＝6k+6，
∴x+y＝2k+2．
∵关于x、y的方程组的解互为相反数，
∴x+y＝0，
∴2k+2＝0，
解得：k＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组中的未知数的系数的特点选择恰当的方法解答是解题的关键．
五．解答题（共1小题，满分10分）
23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝35°，求∠BPC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠BPC．
（1）按照小明的思路，则∠BPC的度数为 75° ；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），写出∠APC与α、β之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠BPE＝40°，∠2＝∠EPC＝35°，则∠BPC＝∠BPE+∠EPC＝75°；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，根据平行线的性质得出∠APE＝α，∠CPE＝β，即可得出答案；
（3）分两种情况当P在BD延长线上，当P在DB延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可．
解：（1）过点P作PE∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BPE＝40°，∠2＝∠EPC＝35°，
∴∠BPC＝∠BPE+∠EPC＝75°．
故答案为：75°；
（2）∠APC＝α+β，理由如下：
如图，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）当P在BD延长线上时，∠APC＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠APC＝β﹣α；理由如下：
①如图所示，当P在BD延长线上时，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE﹣∠CPE＝α﹣β．
②如图所示，当P在DB延长线上时，
同理可得∠CPA＝β﹣α；
综上所述：当P在BD延长线上时，∠APC＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠APC＝β﹣α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角．
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