数学必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

课时跟踪检测（十二）正弦定理

层级(一)　“四基”落实练

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是        (　　)

A.　　　             B.　　　          C.　　　             D.

解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A.

2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是         (　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝      (　　)

A．30°             B．60°             C．120°     D．150°

解析：选BC　由正弦定理可知＝，

∴sin B＝＝＝，

∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°.

4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为        (　　)

A．1                B．2                  C.－1                     D.

解析：选B　由正弦定理＝，可得＝，

∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈，

∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2.

5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是    (　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．以上都有可能

解析：选C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C.

6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.

解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.

答案：2

7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．

解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝，

∴c＝＝ ＝2，

∴S△ABC＝×2×2＝2.

答案：　2

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.

解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C，

即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C.

因为0°<C<90°，所以2C＝45°－C，即C＝15°.

层级(二)　能力提升练

1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝   (　　)

A．2                B．＋1                C．3      D．2

解析：选AB　由正弦定理可得，sin C＝＝＝，在△ABC中，∵c>b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2.

2．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.

解析：∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理＝，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.

又B∈(0，π)，∴B＝.

答案：

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.

解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，

即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．

答案：　3

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．

解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，

得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.

(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3.

5．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值；

(2)sin C和△ABC的面积．

条件①：c＝7，cos A＝－；

条件②：cos A＝，cos B＝.

解：选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.

(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，b＝11－a，c＝7，

得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×，

∴a＝8.

(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝.

由正弦定理＝，得sin C＝＝＝.

由(1)知b＝11－a＝3，

∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.

选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.

(1)∵cos A＝，∴A∈，sin A＝.

∵cos B＝，∴B∈，sin B＝.

由正弦定理＝，得＝，∴a＝6.

(2)sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.

∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.

层级(三)　素养培优练

1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆    代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2.

解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为＝45°，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以等腰三角形的面积S＝2sin 45°＝32·＝16(＋1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(＋1)－×π×22＝16＋16－(m2)．

答案：16＋16－

2．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，

由题意知，＝，所以sin∠ADB＝.

由题意知，∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝.

(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.

3．现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积．

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，________，________，且满足(2b－c)cos A＝acos C，求△ABC的面积．

解：方案一，选①②.因为(2b－c)cos A＝acos C，

所以由正弦定理可得，

2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，

因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为a＝2，B＝，

所以由正弦定理可得，＝，所以b＝2，

又C＝π－A－B＝，所以S△ABC＝absin C＝×2×2×sin＝2×＝1＋.

方案二，选①③.因为(2b－c)cos A＝acos C，

所以由正弦定理可得，

2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，

因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.又a＝2，c＝b，

所以由余弦定理可得，＝＝，

解得b＝2，c＝2，

故S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.

附注，不能选②③.因为(2b－c)cos A＝acos C，

所以由正弦定理可得，2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为B＝，c＝b，所以C＝π－A－B＝，此时≠，不符合题意．