高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换综合训练题

人教A版（2019）必修第一册（下）5.5三角恒等变换

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知sin(α＋45°)＝，则sin2α等于（    ）

A．－ B．－ C．  D．

2．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．最小值是

A．-1 B． C． D．1

4．关于函数，以下说法正确的是（    ）

A．在区间上是增函数 B．在区间上存在最小值

C．在区间上是增函数 D．在区间上存在最大值

5．函数 的最小值和最大值分别为(　　)

A．  B．  C．  D．

6．将函数向左平移个单位后得函数，则在上的取值范围是

A． B． C． D．

7．的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知和是方程的两个根，则的关系是（    ）

A． B．

C． D．

9．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．若，，且，，则的值是________.

11．已知角的终边经过点，且，则的值为_________．

12．函数的最小正周期是______

13．______．

14．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________．

15．设为锐角，若，则的值为____________.

16．已知函数，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，是函数的一个极小值点.若把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________.

三、解答题

17．已知函数是该函数图象的对称中心

(1)求函数的解析式；

(2)在中，角的对边分别为，若，，求的取值范围.

18．函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.

（1）求函数图象的对称中心.

（2）当时，求 的值域.

（3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围.

19．在中，角，，所对边分别为，，，且，，.

(1)求边及的值；

(2)求的值.

20．求的值.

21．已知函数，．

(1)求的值及的最小正周期；

(2)当时，求函数的零点所构成的集合．

参考答案：

1．B

【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.

【详解】sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，

∴sinα＋cosα＝.

两边平方，得

1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.

故选B

【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键.

2．A

【分析】根据诱导公式求出，再根据对数函数的单调性比较的大小，即可得出答案.

【详解】解：，

，

所以.

故选：A.

3．B

【详解】试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B

考点：本题考查了三角函数的有界性

点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题

4．C

【分析】将原式化简为，再结合正弦函数的性质，即可求解．

【详解】解：，

令，，即函数的单调递增区间为，故选项错误，选项正确，

当，即时，取得最小值，故在区间上不存在最小值，故选项错误，

当，即时，取得最大值，故在区间上不存在最大值，故选项错误．

故选：．

5．C

【详解】2. ∴当时，，当 时， ，故选C.

6．D

【分析】按照图象的平移规律，写出的表达式，利用正弦函数的图象，求出在上的取值范围.

【详解】因为函数向左平移个单位后得函数，所以

，

，故本题选D.

【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键.

7．A

【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得结果.

【详解】.

故选：A.

8．C

【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果.

【详解】由题意可知，，

，

，，.

故选：C．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题.

9．B

【分析】先利用两角和的正弦公式对化简，利用二倍角公式对化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小

【详解】解：，

 ，，

因为在上为增函数，且，

所以，即可，

故选：B

【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题

10．

【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，即所以.

因为，，所以，

因为，所以.

所以

.

因为，，所以，

所以.

故答案为：.

11．

【解析】先计算出，再点的坐标特征可得角的终边的位置，从而可求的值.

【详解】因为，故，故角的终边在第二象限或第三象限，

又的纵坐标为，故角的终边在第二象限，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：（1）角的终边的位置可根据三角函数值的正负来确定，也可以根据终边上的点的坐标特征来确定；

（2）三个三角函数值，往往是“知一求二”，这里利用方程的思想.

12．

【分析】逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为形式,利用即可求得函数最小正周期.

【详解】

故答案为:.

【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用、余弦三角函数最小正周期公式,属于基础题.

13．

【分析】，化简计算即可得出结果.

【详解】原式

．

故答案为：.

14．－

【详解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，

∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.

∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，

∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－

15．

【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.

【详解】为锐角，， .

.

故答案为：

16．##

【分析】对称轴与对称中心之间的最小距离为，可求得函数的周期，从而可求出，再由是一个极小值点，可求得，从而可得，进而可得，再由图象关于点对称，可得，从而可求出实数的最小值

【详解】因为对称轴与对称中心之间的最小距离为，所以，所以，，

因为是一个极小值点，

所以，又因为，所以，

.把函数的图象向右平移个单位长度后得函数

，图象关于点对称，则

，，

因为，当时，实数的最小值为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题意得，则可求出，从而可求出函数的解析式；

（2）由可求出，由正弦定理得，从而可表示出，化简后利用三角函数的性质可求得结果

(1)

由题知，

因为，所以，

所以函数，

即为.

(2)

由题知，即，

因为，所以，所以，

即.

所以由正弦定理得，

所以,

因为

所以，

所以，所以，

所以取值范围为.

18．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出 ，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心；

（2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域；

（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．

【详解】（1）根据图象可知，，

∴，∴， ，

将代入得， ，即，解得 ，，

∵，∴， ，

∴.

函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得

令，解得

∴此函数图象的对称中心为.

（2）当时， ，

，即 的值域为.

（3），

令，由（2）知， ，

因此m的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．

19．(1)，

(2)

【分析】（1）先由求得，结合三角形面积公式可得，根据条件可得，的值，再利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；

（2）由（1）可知，则，，再结合二倍角公式和差角公式求解即可.

(1)

因为，，所以，

因为，所以，

又，所以，，

所以，

因为，即，所以.

(2)

在中，由（1）可知，则，

所以，，

则，，

所以.

20．

【分析】先将题中正弦值利用诱导公式转化为余弦值，再用降次公式将式子中高次转化为次，再观察题中角度与特殊角的联系，再用两角和差公式展开化简求值.

【详解】

.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，运用降次公式，两角和与差公式进行化简求值，注意观察角度间的联系及与特殊角的联系，还考查了学生的分析观察能力，运算能力，难度较大.

21．(1)，最小正周期为;

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的性质即可求解；

（2）令，可得或或，即可求解的值.

（1）解：因为，所以，最小正周期为 .

（2）令，则，因为，所以，所以或或，即或或，所以函数的零点所构成的集合为.