2023年安徽省芜湖市无为市中考数学三模试卷（含解析）

2023年安徽省芜湖市无为市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据工信部发布数据，我国已累计建成基站超过万个，实现“市市通千兆”“县县通”，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图摆放的一副直角三角尺，，，与相交于点，当时，的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，，是的弦，延长，相交于点，已知，，则所对的圆心角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知三个实数，，，满足，，则下列结论正确的是(    )

A. ， B. ， C.  D.

10.  如图，点是边长为的等边三角形内部一动点，连接，，，且满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  分解因式：______．

12.  关于的一元二次方程有一根为，则______．

13.  如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，若年，则的长为______ ．

14.  二次函数的图象经过点．
该二次函数图象的顶点坐标是______ ；
一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解不等式组．

16.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
将绕点顺时针旋转得到，请画出；
用无刻度的直尺，在边上画出点，使要求保留作图痕迹，不写作法．

17.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
解决下列问题：
按照以上规律，写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式______ 用含的式子表示，并证明；
利用上述规律，直接写出结果： ______ ．

18.  本小题分
如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上根据以上数据，求灯管支架的长度结果精确到，参考数据：．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
求一次函数的解析式；
根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
若是轴上一点，且的面积是面积的倍，求点的坐标．

20.  本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
某校对七、八年级的学生进行了“党的二十大精神“学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有人，为了解该校七、八年级学生对“党的二十大精神”知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取人进行知识测试，统计这部分学生的测试成绩成绩均为整数，满分分，分及分以上为优秀，相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取学生的成绩统计表

填空： ______ ， ______ ；
请估计七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数；
现从七、八年级获得分的四名同学中随机抽取两人作为宣讲员，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是七、八年级各一人的概率．

22.  本小题分
在中，，，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且与线段相交于点，的平分线与相交于点．

如图，若，则 ______ ；
如图，在的条件下，过点作交于点，连接，求的值；
如图，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值用含的式子表示．

23.  本小题分











跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
的值为______；
若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为______；
若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是：．
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如下图形：

故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解： ，原计算错误，不符合题意；
B. ，正确，符合题意；
C.，原计算错误，不符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方进行计算即可求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
，
，
故选：．
过点作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
．
故选：．
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故选：．
若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
或，即或，
故A、结论错误，不符合题意；
，
，故C结论错误，不符合题意，结论正确，符合题意；
故选：．
先推出，进而得到，再由得到，由此即可判断、；求出即可判断、．
本题主要考查了因式分解的应用，正确推出，是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，在的外接圆的上，
当时，最小，同时也最小，
，
而，
，
又为等边三角形，
，
，
为等边三角形，、、三点共线，
，
，，
，
，
，
，，
在等边三角形中，，
，
，
当最小时，最小，
此时，
又为的中点，，
，
长的最小值为．
故选：．
首先利用已知条件和等边三角形的性质求出，然后确定在的外接圆的上，当时，最小．最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，也利用了垂径定理及其推论，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值．
【解答】
解：关于的一元二次方程有一根为，
满足关于的一元二次方程，且，
，且，
．
故答案是．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，

四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或舍弃，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于，连接，设首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

14.【答案】   

【解析】解：二次函数的图象经过点，
，
，
，
该二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
一次函数的图象经过点，
．
．
．
点在一次函数的图象上，
．
点在二次函数的图象上，
．
，
，即．
令，
当时，，
解得：，，
抛物线与横轴交点为，．
抛物线开口向上，
的解集为．
故答案为：．
把代入求出，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
先求出一次函数解析式，把代入一次函数得出，把代入得出，再由，得出关于的不等式，利用二次函数的性质求解不等式的解集即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
解，得，
解，得，
不等式组的解集为． 

【解析】分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于熟练掌握不等式组的解法．
 

16.【答案】解：如图：

如图，即为所求．
如图，点即为所求． 

【解析】根据旋转的向左及网格线的特点作图；
根据三角形的相似的性质作图．
本题考查了旋转，掌握旋转的性质及网格线的特点是解题的关键．
 

17.【答案】    

【解析】解：第个等式为，
故答案为：；
第个等式为，
证明：左边，
右边，
左边右边，
等式成立；
故答案为：；




；
故答案为：．
根据所给的等式，直接写出即可；
通过观察所给的等式，猜想第个等式，并证明；
利用的结论，将所求的式子化为，求和即可．
本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：延长交于点，
在中，，
，
，
，，
，
在中，，
，

中，，，
，
，
是等边三角形，
，
答：灯管支架的长度约为． 

【解析】延长交于点，先解求出，再解求出，再证明是等边三角形，则．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

观察图象，不等式的解集为：或．

连接，，由题意，
，

设，
由题意，
解得，
或． 

【解析】利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
 

20.【答案】证明：点为的中点，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线，为的直径，
，
，
，
；
解：，，，
，
为的直径，
，
，
，
在中，，
由知，
在中，，
．
答：的长为． 

【解析】由点为的中点，可得，根据为的直径，有，又是的切线，为的直径，有，即得，；
由，，，得，由等面积法得，由勾股定理得，，即．
本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理、等面积法等知识，解题的关键是掌握切线的性质及应用，熟练应用勾股定理解决问题．
 

21.【答案】   

【解析】解：由众数的定义得：，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为，
故答案为：，；
七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数为：
人，
答：估计七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数为人；
把七年级获得分的学生记为，八年级获得分的学生记为，，
画树状图为：

共有种等可能的结果，被选中的二人恰好是七、八年级各一人的结果为种，
被选中的二人恰好是七、八年级各一人的概率为．
根据众数和中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可；
画树状图，共有种等可能的结果，被选中的人恰好是七、八年级各人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

22.【答案】 

【解析】解：在中，，点为的中点，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．

，，
，，
平分，
，
，
在中，
点为中点，，
，，
，，
，
，，
∽，
；

如图，过点作于点，

，
，
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
在中，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到，在中，含的直角三角形边之间的关系可得结论；
由题意可得，，，则∽，又，，所以．
过点作于点，由，得，所以，又∽，，，所以．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到∽是解题关键．
 

23.【答案】解：；
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点． 

【解析】解：起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
故答案为：；
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故答案为：；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
根据起跳台的高度为，即可得；
由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．