2023年安徽省芜湖市无为市中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年安徽省芜湖市无为市中考数学一模试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，四象限等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+＝0B．y＝2x2﹣3x﹣1C．x2﹣1＝0D．y2﹣x+3＝0
2．若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
4．下列关于反比例函数y＝的描述中，正确的是（ ）
A．图像在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点（﹣1，3）在反比例函数的图像上
D．当x＜1时，y＞3
5．某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（ ）
A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
C．200+200×2x＝1000
D．200（1+x）2＝800
6．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4B．4C．8D．9
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）
11．（5分）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 ．
12．（5分）已知α、β均为锐角，且满足，则α+β＝ ．
13．（5分）在正方形ABCD中，AB＝6，将正方形ABCD绕点A旋转30°，得到正方形AEFG，则BG的长为 ．
14．（5分）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
（2）当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围 ．
三、（本题共2小题，每题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）用适当的方法解下列方程：x2﹣4x+2＝0．
16．（8分）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
（2）点A的对应点D的坐标是 ；
（3）S△ABO：S四边形ABED＝ ．
四、（本题共2小题，每题8分，满分16分）
17．（8分）如图所示，某公园湖心岛上有一棵大树，大树底部无法到达，为了知道大树AB的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在D处测得大树顶端A的仰角为23°，在C处测得大树顶端A的仰角为35°，测得CD＝9米，图中D、C、B三点共线，且AB⊥DB．根据测量数据，请求出大树AB的高度．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（m，4），B（﹣4，n）．
（1）求一次函数解析式，并画出一次函数图象（不要求列表）；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积；
（3）当ax+b＞时，直接写出自变量x的取值范围．
五、（本题共2小题，每题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．
20．（10分）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉祥物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
（1）求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了10a个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求a的值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校七、八年级学生各有500人，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的测试成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据所给数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加区党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
八、（本题满分14分）
23．（14分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10小题，每题4分，满分40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+＝0B．y＝2x2﹣3x﹣1C．x2﹣1＝0D．y2﹣x+3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A．分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2．若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．
【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），
∴a：4＝b：3，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．
3．如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．在Rt△ABD中，根据正弦函数的定义即可得答案．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．
在Rt△ABD中，
∵BD＝4，AD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，解题关键是构造以∠B为锐角的直角三角形．
4．下列关于反比例函数y＝的描述中，正确的是（ ）
A．图像在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．点（﹣1，3）在反比例函数的图像上
D．当x＜1时，y＞3
【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得．
【解答】解：A、，k＝3＞0，则图象在第一、三象限，选项说法错误，不符合题意；
B、，k＝3＞0，则图象在第一、三象限，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，选项说法正确，符合题意
C、（﹣1）×3＝﹣3，点（﹣1，3）不在反比例函数的图像上，选项说法错误，不符合题意；
D、，图象在第一、三象限，当x＜1时，y＜3，选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5．某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（ ）
A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
C．200+200×2x＝1000
D．200（1+x）2＝800
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，然后变形，即可解答本题．
【解答】解：由题意可得，
200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件可画图，如图所示，易得：△ADC、△ABC、△CBD均为等腰三角形，得到△ABC∽△CBD，列出比例式，解方程即可．
【解答】解：如图：
∵∠ABC＝∠CBD，且都为底角，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
即：，
整理得：a2﹣ab﹣b2＝0，
即：，
解得或（舍去），
因此．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．4B．4C．8D．9
【分析】设∠AEF＝n°，由题意得：＝12π，解得n＝120，推出∠AEF＝120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：＝12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE＝EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
【分析】①根据三角形内角和定理进行判断推理即可解答；②根据三角形相似的判定方法推理即可判断正误；③先说明△BAD～△EAO，再运用相似三角形的性质即可解答；④利用矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理进行推理即可解答．
【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正确；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO～△ACD．
故②正确；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD～△EAO，
∴．
故③正确；
④如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正确．
故选：D．
【点评】本题是考查的是等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似的判断及性质是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）
11．（5分）已知函数是关于x的反比例函数，则m的值是 ±2 ．
【分析】根据反比例函数的定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值．
【解答】解：∵函数是关于x的反比例函数，
∴m+1≠0，m2﹣5＝﹣1，
∴m＝±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，注意k≠0，x的次数为﹣1．
12．（5分）已知α、β均为锐角，且满足，则α+β＝ 75° ．
【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，再结合特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵|sinα﹣|+＝0，
∴sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，
∴sinα＝，tanβ＝1，
∴α＝30°，β＝45°，
则α+β＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
13．（5分）在正方形ABCD中，AB＝6，将正方形ABCD绕点A旋转30°，得到正方形AEFG，则BG的长为 6或 ．
【分析】分顺时针和逆时针旋转两种情况讨论，求解即可．
【解答】解：①将正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°时，得到正方形AEFG，
如图：
则：AB＝AG＝6，∠DAG＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝120°，，
过点G作GP∥AB，交AD于点H，交BC于点P，
则：∠PGB＝30°，∠GHA＝90°，∠GPB＝90°，HP＝AB＝6，
∴，BG＝2BP，
∴PG＝PH+GH＝9，
在Rt△BPG中，BG2＝BP2+PG2，即：4BP2＝BP2+81，
∴或（舍去），
∴BG＝2BP＝2×3＝6；
②将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°时，得到正方形AEFG，连接BG，
如图：
则：AB＝AG＝6，∠DAG＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝∠BAD﹣∠GAD＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∴BG＝6；
综上：BG的长为6或．
故答案为：6或．
【点评】本题考查正方形的旋转问题，同时考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质和正方形的性质是解题的关键．
14．（5分）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 1或2 ．
（2）当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标k的取值范围 0≤k≤4 ．
【分析】（1）令y＝0，则﹣x2+（m﹣1）x+m＝0先判断根的判别式的取值范围，确定与x轴公共点的个数即可；
（2）把顶点纵坐标看成关于m的二次函数，然后根据二次函数图象性质，在﹣2≤m≤3范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（﹣1）×m＝（m+1）2≥0，
∴函数的图象与x轴公共点的个数是1或2，
故答案为：1或2；
（2）∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的顶点坐标为，
设函数，
当m＝﹣1时，k有最小值为0，
当m＜﹣1时，k随m的增大而减小，当m＞﹣1时，k随m的增大而增大，
当m＝﹣2时，k＝，当m＝3时，k＝4，
∴当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤k≤4．
故答案为：0≤k≤4．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的顶点取值范围，利用数形结合的思想方法是解题的关键．
三、（本题共2小题，每题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
（1）；
（2）用适当的方法解下列方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）＝
＝
＝；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+2+2＝2，
（x﹣2）2＝2，
，．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，涉及到零指数幂，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
16．（8分）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
（2）点A的对应点D的坐标是 （﹣2，6） ；
（3）S△ABO：S四边形ABED＝ 1：3 ．
【分析】（1）依据点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的△DEF；
（2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标；
（3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到S△ABO：S△DEO＝1：4，进而得出S△ABO：S四边形ABED＝1：3．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）点A的对应点D的坐标是（﹣2，6），
故答案为：（﹣2，6）；
（3）由题可得，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
又∵位似比为2：1，
∴S△ABO：S△DEO＝1：4，
∴S△ABO：S四边形ABED＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
四、（本题共2小题，每题8分，满分16分）
17．（8分）如图所示，某公园湖心岛上有一棵大树，大树底部无法到达，为了知道大树AB的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在D处测得大树顶端A的仰角为23°，在C处测得大树顶端A的仰角为35°，测得CD＝9米，图中D、C、B三点共线，且AB⊥DB．根据测量数据，请求出大树AB的高度．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【分析】设BC＝x米，则BD＝（x+9）米，在Rt△ABC中，tan35°＝≈0.70，解得AB＝0.70x，在Rt△ABD中，tan23°＝≈0.42，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设BC＝x米，则BD＝（x+9）米，
在Rt△ABC中，tan35°＝≈0.70，
解得AB＝0.70x，
在Rt△ABD中，tan23°＝≈0.42，
解得x＝13.5，
∴AB＝9.45米，
∴大树AB的高度约为9.45米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（m，4），B（﹣4，n）．
（1）求一次函数解析式，并画出一次函数图象（不要求列表）；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积；
（3）当ax+b＞时，直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）先求一次函数与y轴交点坐标，根据面积公式计算；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（m，4），B（﹣4，n）代入得：m＝1，n＝﹣1，
把A（m，4），B（﹣4，n）分别代入y1＝ax+b（a≠0）得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
一次函数图象如图所示：
（2）如图：
在一次函数y＝x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∴；
（3）由图象可知，当ax+b＞时，x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解析式，通过函数图像求自变量x的取值范围是解题关键．
五、（本题共2小题，每题10分，满分20分）
19．（10分）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径得到∠DAB+∠DBA＝90°，由AC与⊙O相切于点A得∠DAC+∠DAB＝90°，进而得到∠DAC＝∠DBA，然后由圆周角定理得到∠DEA＝∠DBA，最后得到∠DAC＝∠DEA；
（2）先由点E是弧BD的中点得到∠DAE＝∠BAE，然后由∠CAD＝∠DBA得到∠CAF＝∠CFA，进而得到CA＝CF，然后设CA＝CF＝x，最后用勾股定理列出方程求得x的值，即可得到AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵∠DEA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DEA；
（2）解：∵点E是弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠CAD＝∠DBA，∠CAF＝∠CAD+∠DAF，∠CFA＝∠EAB+∠DBA，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴CA＝CF，
设CA＝CF＝x，则BC＝BF+CF＝2+x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴62+x2＝（2+x）2，
解得：x＝8，
∴AC＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得∠CAD＝∠DBA．
20．（10分）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉祥物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
（1）求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了10a个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求a的值．
【分析】（1）设小拉伊卜玩偶售价为每个x元，则大拉伊卜玩偶售价每个（x+30）元，根据“销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同”可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题“该经销商世界杯第二周总销售额为48000元”，可以列出关于a的一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）设小拉伊卜玩偶售价为每个x元，则大拉伊卜玩偶售价每个（x+30）元，
由题意可得30x＝21（x+30），
解得x＝70，
∴x+30＝100，
答：小、大拉伊卜玩偶售价分别为70元/个，100元/个；
（2）由题意可得，
（70﹣a）（400+10a）+（100﹣a）•200＝48000，
解得a1＝10，a2＝0（不符合题意，舍去），
即a的值是10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校七、八年级学生各有500人，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的测试成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七年级抽取学生的测试成绩统计表
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据所给数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加区党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的众数大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝8，b＝7，c＝60%；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好．
理由：七年级、八年级学生的平均测试成绩均为（8分），且七年级学生的测试成绩的众数（8分）高于八年级学生的测试成绩的众数（7分）．
（3）把七年获得（10分）的学生记为A，八年级获得（10分）的学生记为B，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
所以，P（被选中的2人恰好是七、八年级各1人）＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识，正确利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．若当h＝1.5 m，EF＝0.5 m时，解答下列问题．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 ．
【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当y＝0时，，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0），
∵上边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而增大，
下边缘抛物线在0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，
解得，
∵x＞0，
∴，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ACD＝∠EBC，可证明△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，证明△CAE≌△ADF（AAS），由全等三角形的性质可得出CE＝AF＝，则可得出答案；
（3）过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，证明△BFE∽△MED，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
8
a
8
80%
八年级
8
8
b
c
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
8
a
8
80%
八年级
8
8
b
c