知识点07 动态型问题

这是一份知识点07 动态型问题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
知识点07 动态型问题
一、选择题
9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，

（第9题）
动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂足为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的面积为y，则y关于x的函数图像大致是( )

{答案}D
{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=32x，PH=12x，∴y=32x×12x÷2=38x2，y是x的二次函数,当x=4时，y=23；
当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+23，y是x的一次函数，当x=10时，y=6+23；
当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+23)(12-x)=-( 6+23)x+12×（6+23），y是x的一次函数，y随x的增大而减小.故选D.


9．（2020·南通） 矩形ABCD中，E为AD边上的一点，动点P沿着B－E－D运动，到D停止，动点Q沿着B－C运动到C停止，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的面积记为y cm2，y与x的关系如图所示，则矩形ABCD的面积为
A．96 B．84 C．72 D．56
A
B
E
D
C
P
Q
10
30
14
x
/s
y
/cm2
O

{答案}C
{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，

，得EH＝AB＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB＝6，由右图可知当x＝14时，点Q与点C重合，所以BC＝14，所以矩形ABCD的面积＝12×6＝72，故选C．
（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
{答案}
{解析}根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°=22x，
∴CE＝AC﹣AE＝22-22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
y＝PE•CE
=22x（22-22x）
=-12x2+2x
=-12（x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．

9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度随时间变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（ ）
A.12 B.8 C.10 D.13

{答案}C
{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
当P点分别与A、B重合时，PC=13，由此可推出：△ABC是等腰三角形，AC=BC=13；
当CP⊥AB时，PC的值最小，即△ABC中，AB上的高为12，此时P点恰好运动至AB的中点，
∴，∴．
9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．25cm2 B．1003cm2 C．50cm2 D．75cm2
【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝22x＝20，解方程即可解决问题．
【解析】：如图：设OF＝EF＝FG＝x，

∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝22x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝22x，
∴x＝52，
∴阴影部分的面积＝（52）2＝50（cm2）
故选：C．
11．（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
【解析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），
当y＝8时，PC=BC2-BP2=102-82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故选：D．










二、填空题
15．（2020·鄂州）如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动__________秒时，与正方形重叠部分的面积为．

{答案}1或．
{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．
解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB
由题意可知：OA＝OB＝AB＝2，OF⊥AB
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOB＝60°，OE⊥AB
在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，∴AE＝，OE＝
∴S扇形OAB-S△OAB
∴OF＝
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒

②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD
由题意可知：OC＝OD＝CD＝2，OF⊥CD
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD＝60°，OE⊥CD
在Rt△COE中，∠COE＝30°，∴CE＝，OE＝
∴S扇形OCD-S△OCD
∴OF＝
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒
综上，当运动时间为1或秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为
故答案为：1或．


17．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为　 　．

（第17题图）
{答案}2
{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′t，∴S△MFE′ME′•FE′tt，∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×48，∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8=6，解得t1=2，t2=-2（舍去），因此本题答案是2．


17．（2020·通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　　．

{答案}7
{解析}∵点E是边AB的中点，∴AE=BE=AB．从图象中可以看出，当x的值最大时，所对应的函数值是，此时点P恰与点B重合．此时PA+PE＝AB+AB=AB=，得AB==AC，AE=BE=．如图，作点E关于BC的对称点F，连结AF交BC于点P，此时PA+PE有最小值，即是AF长，连结BF．∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC=∠C=30°，由轴对称可得BF=BE，∠ABC=∠FBP=30°，∴∠EBF=60°，∴△EBF是等边三角形，∴EF=BE，∵AE=BE，∴AE=BE= EF，易证△ABF是直角三角形，∴AF=AB·sin∠ABF=sin60°=×=3，即a=3，在△ABF中，∠AFB=90°，∠ABF=60°，∴∠BAF=30°，∵∠BAC＝120°，∴∠PAC=∠BAC－∠BAF=90°，∴cosC=cos30°==，∴PC===4，即b=4，∴a+b=7．








三、解答题
24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD中,∠A＝∠C＝90°,DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,并交线段AB,CD于点E,F(点E,B不重合).在线段BF上取点M,N(点M在BN之间),使BM＝2FN.当点P从点D匀速运动到点E时,点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QN＝x,PD＝y,已知,当Q为BF中点时.
(1)判断DE与BF的位置关系,并说明理由.
(2)求DE,BF的长.
(3)若AD＝6.
①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.
②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.

{解析}这是一道四边形动点综合题。
（1）根据四边形内角和360°得到∠ADC＋∠ABC＝180°，再根据角平分线得∠ADE＋∠ABF＝90°.由直角三角形两锐角互余得到∠AED＝∠ABF,从而DE∥BF.
（2）由y＝－x＋12，令x＝0得y＝12，所以DE＝12.令y＝0得x＝10，得MN＝10
把y＝代人y＝－x＋12，得x＝6，即NQ＝6，从而QM＝10－6＝4.
由Q是BF中点，得到FQ＝QB.因为BM＝2FN，所以FN＋6＝4＋2FN，得FN＝2，BM＝4，
所以BF＝FN＋MN＋MB＝16.
（3）①连结EM并延长交BC于点H，由四边形DFME是平行四边形，从而DF＝EM.根据AD＝6，DE＝12.∠A＝90°，得到∠DEA＝30°＝∠FBE＝∠FBC.再由∠ADE＝60°＝∠CDE＝∠FME，所以∠MEB＝∠FBE＝30°，∠EHB＝90°，所以DF＝EM＝BM＝4，求的BE＝4.
当DP＝ DF时：－x＋12＝4，解得x＝，所以BQ＝14－x＝14－＝，所以BQ＞BE.
②分类讨论：（i）当PQ经过点D时；（ii）当PQ经过点C时；（iii）当PQ经过点A时。
{答案}解： （1）DE∥BF，理由如下（如图1）：
∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－（∠A＋∠C）＝180°
∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC，∠ABF＝∠ABC，
∴∠ADE＋∠ABF＝×180°＝90°.∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF,∴DE∥BF.
（2）令x＝0得y＝12，∴DE＝12.令y＝0得x＝10，∴MN＝10
把y＝代人y＝－x＋12，得x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10－6＝4.
∵Q是BF中点，∴FQ＝QB.∵BM＝2FN，∴FN＋6＝4＋2FN，得FN＝2，BM＝4，∴BF＝FN＋MN＋MB＝16.
（3）①如图2.连结EM并延长交BC于点H，

∵FM＝2＋10＝12＝DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF＝EM.
∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，∴∠DEA＝30°＝∠FBE＝∠FBC.
∵∠ADE＝60°＝∠CDE＝∠FME，∴∠MEB＝∠FBE＝30°，∠EHB＝90°，
∴DF＝EM＝BM＝4，∴MH＝2，HB＝2，∴BE＝4.
当DP＝ DF时：－x＋12＝4，解得x＝∴BQ＝14－x＝14－＝
∵＞4,∴BQ＞BE.
②（i）当PQ经过点D时（如图3）y＝0，∴x＝10

（ii）当PQ经过点C时（如图4），
∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP,∴，∴，解得x＝
（iii）当PQ经过点A时（如图5），

∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴.∵AE＝ ，∴AB＝10，
∴，解得x＝.由图可知，PQ不可能过点B.
综上所述，当x＝10，,时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点.
26．（2020·黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．

{解析}（1）已知抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，然后将点C坐标代入求解；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E的坐标，表示出AE，CE，AC，根据等腰三角形的两边相等，再分三种情况建立方程求解；
（3）利用平移先确定点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
{答案}解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），∴AC=10，设点E（0，m），则AE=m2+1，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，10=m2+1，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），
②当AC＝CE时，10=|m+3|，∴m＝﹣3±10，∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3-10），
③当AE＝CE时，m2+1=|m+3|，∴m=-43，∴E（0，-43），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3-10）、（0，-43）；
（3）如图，存在.
∵点D的坐标为（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，
即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．

22．（2020·河南）小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图，点D是弧BC上一动点，线段BC=8，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F，当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度.







小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点D在弧BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值.
BD/
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9

3.9
2.4
0
FD/
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现:①“当点D为弧的中点时，BD=5.0”，则上表中的值是；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
(2)将线段BD的长度作为自变量，CD和FD的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数的图象；
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).

{解析}（1）①根据在“同圆中，等弧所对的弦相等”可得CD=BD=5.0；②由题意易得△ACF≌△ABD，∴CF=BD；（2）根据（1）表格中的数值描点、连线即可；（3）先画出函数图像，根据函数图象的交点确定线段BD长度的近似值.

{答案}解：(1)①5.0；② 由题意可得，△ACF≌△ABD，∴CF=BD；
(2) 的图象如图所示.

(3) 的图象如图所示.

△DCF为等腰三角形时，线段BD的长度约为3.5或5.0或6.3.(答案不唯一)
26．（2020·衡阳）如图1，平面直角坐标系xoy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC=8，顶点A在y的正半轴上，OA=2，动点E从(3，0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止，另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止，已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当点H落在AC边上时求t的值；
(2)设正方形FGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2 个单位的速度沿OD-DC-CD- DO运动，到达点O停止运动，请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能，求出点M在正方形EFCH内(含边界)的时长；若不可能，请说明理由.


(第 26题图1) (第26题图2)
{解析}本题考查了考查了三角形相似的判定及其性质、勾股定理分类讨论思想、数形结合思想等知识，是动点综合题，根据题意画出图形是解题的关键．（1）当点H落在AC边上时，△CHE∽△CAO ，HE＝1，可以确定CE的长度，得到答案； （2）分0≤t≤4、4