知识点02 新定义型、阅读理解型问题

这是一份知识点02 新定义型、阅读理解型问题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点02 新定义型、阅读理解型问题
一、选择题
10．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15° ＝＝＝＝2－．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．＋1 B．－ 1 C． D．
{答案}B
{解析}本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1．故选B .
7．（2020·河南）定义运算:☆=.例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆=0方程的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根
{答案}A{解析}由定义新运算可得，∴△==5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A．
9．（2020·枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
{答案}B{解析}根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为，所以原方程可转化为，解得x＝5．经检验，x＝5是原方程的解．
8.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是 （ ）
A.205 B.250 C.502 D.520
{答案} D
{解析}设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可．
设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，
若4x+4＝205，即x=2014，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝250，即x=2464，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝502，即x=4984，不为整数，不符合题意；
若4x+4＝520，即x＝129，符合题意．
故选：D．

9．（2020·随州）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为（）
A.B.C. D.
{答案}C
{解析}本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值，一元二次方程的解法.解答过程如下：
∵，∴，
∴====
==2x，
∵，且x＞0，∴x=，
∴原式=2×=.因此本题选C．
12.(2020·潍坊)若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象，在新定义下，求出函数关系式是解题的关键.根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，
,即：;
当时，，
即：，∴，∴当时，，函数图像随的增大而增大，A选项符合题意，故选：A．

7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A. B. 1 C. 0 D. 2
{答案}C
{解析}根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：，又，∴，∴．故选：C．




二、填空题
12．（2020·衢州）定义，例如，则的结果为．
{答案}
{解析}解析：根据题中的新定义得：＝＝．
18．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋b－1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝________．

{答案}6{解析}直接利用所给的公式计算即可．由图可知，五边形内部格点有4个，故a＝4；五边形边上格点有6个，故b＝6．∴S＝a＋b－1＝4＋×6－1＝6．
16．（2020·乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：
（1）当－1＜[x]≤2时，x的取值范围是________；
（2）当－1≤x＜2时，函数y＝x2－2a[x]＋3的图象始终在函数y＝[x]＋3的图象下方，则实数a的范围是________．
{答案}（1）0≤x≤3；（2）a＜－1或a≥．
{解析}（1）根据符号[x]表示不大于x的最大整数，得到－1＜[x]≤2时[x]＝0，1，2；当[x]＝0时，0≤x＜1；当[x]＝1时，1≤x＜2；当[x]＝2时，2≤x＜3；从而x的取值范围是0≤x＜3；
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y1＝x2－2a[x]＋3，y2＝[x]＋3，y3＝y2－y1，
由题意可知：y3＝－x2＋(2a＋1)[x]＞0时，函数y＝x2－2a[x]＋3的图象始终在函数y＝[x]＋3的图象下方．
①当－1≤x＜0时，[x]＝－1，y3＝－x2－(2a＋1)，此时y3随x的增大而增大，故当x＝－1时，y3有最小值－2a－2＞0，得a＜－1；
②当0≤x＜1时，[x]＝0，y3＝－x2，此时y3≤0；
③1≤x＜2时，[x]＝1，y3＝－x2+(2a＋1)，此时y3随x的增大而减小，故当x＝2时，y3有最小值2a－3≥0，得a≥；
综上所述，a＜－1或a≥．

11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：
ab＝，如：32＝＝，那么124＝______．
{答案}
{解析}依题意可知124＝＝＝．
17．（2020·宜宾）定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数
（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，
例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则　 　++．
{答案}
{解析}根据连分数的定义列式计算即可解答．++＝＝＝＝．




三、解答题
24.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.


{解析}（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；
（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；
（3）
①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；
②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．
{答案}24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．
∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A＝a
（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）①如图，连结CF.
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC＋∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，
∴DE＝AD，∵∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°.
②如图，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED－∠FED＝∠FAC－∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，∴∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，
∴AE：AC＝AG:CD∵在Rt△ABG中，AG＝AB＝4，
在Rt△ADE中，AE＝AD，∴AD:AC＝，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2＋52＝(5x)2，
∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD＋DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE－EM＝，∵∠FDM＝45° ,∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE·FM＝.
22．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题:
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形B．正五边形 C．菱形D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；

（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（　　）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

{解析}本题考查了新定义“旋转对称图形”．（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
{答案}解:（1）B　（2）（1）（3）（5）（3）C　（4）如答图:

22．（2020·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数
时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
{解析}本题是一道新定义问题，正确理解“好数”是解题的关键．（1）根据“好数”的定义进行判断即可；（2）设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9.由题意，得a=b+5①，a+b=mc②，将①代入，得2b+5=mc.所以2b+5，m,c都为奇数，进而分类讨论求解即可.
{答案}解：（1）312是“好数”，675不是“好数”.
理由如下：312是“好数”，因为3,1,2都不为0，且3+1=4,4能被2整除；
675不是“好数”，因为6+7=13,13不能被5整除.
（2）设n=100a+10b+c（a,b，c为整数且6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9）.
由题意，得a+b=mc（m为正整数），a=b+5，∴2b+5=mc.
又∵2b+5为奇数，∴m,c同时为奇数.
当b=1时，a=6,mc=7，则m=7,c=1或m=1,c=7,此时“好数”有2个：611,617；
当b=2时，a=7,mc=9，则m=9,c=1或m=1,c=9或m=3,c=3，此时“好数”,3个：721,729,723；
当b=3时，a=8,mc=11，则m=11,c=1,此时“好数”有1个：831；
当b=4时，a=9,mc=13，则m=13,c=1,此时“好数”有1个：941；
所以共有“好数”2+3+1+1=7（个）.
综上所述，百位数字比十位数字大5的所有“好数”共有7个.

28．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为点A，B的对应点），线段AA´长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

{解析}（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O上都存在两条对应线段A´B´和A´´B´´,满足它们平行且相等，由平移距离可知，AA´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA´＝AA´´时，平移距离最大（否则谁小取谁）

{答案}解： （1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；

（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

如图，由平移距离可知，AA´的长度的最小值即为平移距离，因此当且仅当AA´＝AA´´时，平移距离最大，如图所示：

由题意可知：△AA´O≌△AA´´O，可得∠AOA´´＝120°，在Rt△A´OC中，A´C＝，所以AA´＝．
∴．


27．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间)．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点________(填“A”“B”“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为________；
②若直线n的函数表达式为y＝x＋4，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l经过点M(1，4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N(－1，0)是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．
　　　　


{答案}解：（1）根据定义得⊙O关于直线m的远点是D；（2）如图1，圆O关于直线m的特征数为DB×DE＝[1－(－1)]·[4－（－1）]＝2×5＝10．
②如图2，过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，设 与y轴交于点C1，∴OC1＝4
∵∴直线与x轴的所夹锐角为60°．
∴∠A1C1O＝90°－60°＝30°
在Rt△A1C1O中，A1O＝C1O＝2
∵OB1＝1，∴⊙O关于直线n的特征数＝2B1O×A1B1＝2(2＋1)＝6
(2)如图3，设过M的直线l解析式为y＝k1x＋b1
∴4＝k1＋b1，即k1＝4－b1，∴l的解析式为y＝(4－b1)x＋b1
设⊙F与NF所在直线交D1，NF的延长线交y＝k1x＋b1于E1
∵⊙F的半径为 ，∴NF＝FD1＝
∵⊙F关于直线l的“特征数”是
∴ND1·NE1＝ 即
由点N到直线l的距离公式得．
∴b1＝7或 经检验，b1＝7或都是原方程的解，且符合题意．
当b1＝7时，k1＝－3，此时直线l的函数表达式为y＝－3x＋7．
当b1＝ 时，k1＝此时直线l的函数表达式为．
综上所述，此时直线l的函数表达式为y＝－3x＋7或．

图1 图2

图3

{解析}本题是新定义问题，直接应用定义就可以求出原点和特征数；（2）过点过O点作OA1⊥直线n于A1，延长A1O交圆O于点B1，然后求出B1O和A1B1的值后即可求出特征值；（3）如图3，先根据特征数和半径的值，求出点N到直线的距离，直线l要经过点M，又要到N的距离为，即可求出直线l的解析式．


（2020·山西）20．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
x年x月x日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?

办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝ 30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．
办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢?
……

任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;
（2） 根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°;
（3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（ 在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） ．

{解析}本题考查作图在实际中的应用.
（1）由作图方法可知“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）由“办法二”可知: QR＝QC，QS＝QC，根据等边对等角得∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，根据三角形内角和定理可得结论．
（3）①图略；②答案不唯一．
{答案}解:（1）勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形) .
（2）解:证明:由作图方法可知: QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC.
又∵∠SRC＋∠RCS＋∠RSC＝180°，
∴∠QCR＋∠QCS＋∠QRC＋ ∠QSC＝ 180°．.
∴2 （∠QCR＋∠QCS）＝ 180°．
∴∠QCR＋∠QCS＝90°． 即∠RCS ＝ 90°．.
（3）①如图，直线CP即为所求，作图正确．.

②答案不唯一，如:三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）;等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形三线合"）;到条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．……（8分）

18．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值.
【问题】解方程：
【提示】可以用“换元法”解方程.
解：设（t≥0），则有，
原方程可化为：
【续解】
{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元的式子为，可设，其两边分别平方后有，这样原方程可变形为关于的一元二次方程，即可求得的值，再根据所设条件对的值进行讨论后作出取舍，即可求出的值．
{答案}解：【续解】
∴，即，
∵，
∴，
则有，配方，得：
解得：，
经检验：，是原方程的根.
21．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是　 　；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

{答案}解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，

∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴12AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝43，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE=23，
∴r=DEsin60°=2332=4，
∴⊙O的半径为4．
{解析}本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．
20. （2020·张家界）阅读下面材料：
对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）______；
（2）当时，求x的取值范围．
（1）﹣1 ；（2）x≥
{解析}本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出解不等式即可判断x的取值范围．
{答案}解：（1）由题意得﹣1
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x－3）≥2（x+2）
6x－9≥2x+4
4x≥13
X≥
∴x的取值范围为x≥．
24．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H函数”的打“×”
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若点A（1，m）与点B（n，－4）关于x的“H函数”的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a,b,c的值或取值范围；
（3）若关于x的“H函数”（a,b,c是常数）同时满足下列两个条件：①,②,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．

{解析}本题考查了审题能力，二次函数的性质、图形和系数的关系等．（1）正比函数是原点对称图形，所以①是“H函数”，反比例函数一定是原点对称图形，所以②是“H函数”，而最后③的图形是直线，但是不原点对称，所以③不是“H函数”；（2）先求出A(1，4)，B(－1，－4)，根据二次函数的性质就能知道图像的开口向下，把A(1，4)，B(－1，－4)，代入关系式，加上对称轴公式，就能得到4＝a＋b＋c,－4＝a－b＋c,＞2，用代入消元法解出结果即可；（3）与（2）的方法近似，根据题意先设一对“H点”（m，n）和（－m，－n）代入，再加上题里给的关系式,，这样随不能求出具体数，但是能够得到系数之间的数量关系，这样这问求的，就能进行化简求值，最后要找到最大与最小值即可．
{答案}答案 （1）√，√，×
（2）解:由題意得A, B两点关于原点对称
∴A(1，4)，B(－1，－4)
又∵函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴A，B两点都在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴a＜0
将A，B两点代入原方程可得：
4＝a＋b＋c, －4＝a－b＋c
解得 b＝4,a＝－c
又∵＞2
∴－1＜a＜0
∵a＝－c
∴－1＜－c ＜0,解得 0＜c＜1
又∵a≠0，∴c≠0
綜上所述: b＝4,－1＜a＜0，0＜c＜1
（3）当y＝0时，y＝ax2＋2bx＋3c可化为ax2＋2bx＋3c＝0，

当在x轴有两个交点时，（2b）2－4×a×3c≥0，x1＋x2＝，x1·x2＝
∴，∵,∴
又∵,解得－3＜＜1
∵这是关于x的“H函数”，∴设（m，n）和（－m，－n）代入y＝ax2＋2bx＋3c中
可得n＝am2＋2bm＋3c，－n＝am2－2bm＋3c，两式相加得2am2＋6c＝0，
∵m2＞0，∴＞0，又∵,∴＞－1，
∴－1＜＜1，∵
∴2＜＜
25. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
{解析}（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM即可.
{答案}（1）连接DE，如图，

∵点O是△ABC的重心，
，是，C边上的中线，
为，边上的中点，
为△ABC的中位线，
，，
∴，
，
，
，，

；
（2）由（1）可知，是定值；
是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，
，，
∴

∵E为CD的中点，



，即；
②∴，且
∴，
∵，
∴，
∴，
，
又
∴．
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．

26．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；②；
③；④．
{答案}解：（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴＝；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3，
∴=1，故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；17＝1×17，∴；∴的最大值．
（3）①∵=20×21∴；
②=28×30∴；
③∵=56×30∴；
④∵=56×60∴，故答案为：．

{解析}本题考查了因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．

20．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，
如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．


{解析}（1）根据定义进行列式计算；（2）根据定义列出不等式，再进行求解，然后把解集在数轴上表示出来．
{答案}解：（1）（－2）※=（－2）2×－（－2）×－3×=4+2－3=3．
（2）∵3※m=32 m－3 m－3 m =3 m，又∵3※m≥﹣6，∴3 m≥﹣6，得m≥﹣2．在数轴上表示如下：


22．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．

21．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．