知识点06 开放型问题

知识点06  开放型问题

一、选填空题

14．（2020·北京）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．

{答案}答案不唯一，∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC

{解析}根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可．

16．（2020·北京）下图是某剧场第一排座位分布图

甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序.

{答案}答案不唯一，丙，丁，甲，乙．

{解析}要使自己选的座位之和最小，丙先选择：1，2，3，4；丁选：5，7，9，11，13；甲选6，8；乙选10，12，14，所以顺序为丙，丁，甲，乙．

三、解答题

20．（2020·温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A,B,C,D重合.

(1)在图1中画格点线段EF,GH各一条,使点E,F,G,H分别落在边AB, BC,CD,DA上，且EF＝GH,EF不平行GH.

(2)在图2中画格点线段MN,PQ各一条，使点M,N,P,Q分别落在边AB ,BC,CD,DA上,且PQ＝MN.

注:图1,图2在答题纸上.

{解析}本题考查了勾股定理．

{答案}解：⑴画法不唯一，如图1或图2等

⑵画法不唯一，如图3或图4等

23．（2020·青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？

横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法.

探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.

(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果.

(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果.

归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有种不同的结果.

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽

取5张奖券，共有种不同的优惠金额.

拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)

(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有种不同的结果.

{答案}解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果.

答案：7

（4）从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从3到2n-1的连续整数，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（种）不同的结果.

答案：2n-3

探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，9，也就是从6到9的连续整数，其中最小是6，最大是9，所以共有4种不同的结果.

答案：4

(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从6到3n-3的连续整数，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（种）不同的结果.

答案：3n-8

探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果.

从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取4个整数，所取的4个整数之和可以为10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是从10到4n-6的连续整数，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（种）不同的结果.

答案：4n-15

归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，所取的a个整数之和最小是1+2+3+…+a=，最大是n+n-1+n-2+…+n-（a-1)=，所以共有不同的结果数为：===.

答案：

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽

取5张奖券，共有不同优惠金额的种类为：=476（种）.

答案：476

拓展延伸：(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，则，即，∴a=7或29.

答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个或29个整数，可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果.

(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，所取的a个整数之和最小是3+4+5+…+（3+a-1）=，

最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=，所以共有不同的结果数为：=

===

==.

答案：

24．（2020·随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+bx+1的对称轴为直线x=，其图象与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C.

(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；

(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t(t>0)秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；

(3)在(2)的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标.(每写出一组正确的结果得1分，至多得4分)

{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点间的距离公式、相似三角形的性质．

（1）首先利用抛物线y=a+bx+1的对称轴x=，与x轴的交点B(4，0)，列方程组求出ab的值，进而得到抛物线的解析式，然后利用解析式求出线段OA=OC=1，进而利用等腰直角三角形的性质得到∠CAO=45°.

（2）过点N作NE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，通过证明△NEM≌△MFD，得到NE=MF，EM=DF.然后由题意得：∠CAO=45°，AN=，AM=3t，，AE=NE=t， EM=AM-AE=2t，

∴DF=2t，MF=t，OF=4t-1，∴D(4t-1，2t），

将点D的坐标代入抛物线的解析式可得，进而求得：t=，再代回计算可得点D的坐标（2，）.

（3）由（2）知：C（0，1），M(，0)，D（2，），B（4，0），

进而得到BD=，DM=，MB=.

设P（a，），Q（0，b），则CQ=|1-b|，

PC==，PQ=，

∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似，∴分以下几种情况进行求解：

①如图所示，当点P在y轴左侧，点Q在点C上方时，利用△PCQ与△BDM相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，通过计算可知：符合要求的点P和点Q不存在；

②如图所示，当点P在y轴左侧，点Q在点C下方时，利用△PCQ与△BDM相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P和点Q的坐标：；；

③如图所示，当点P在y轴右侧，点Q在点C上方时，利用△PCQ与△BDM相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P和点Q的坐标：；；；.

④如图所示，当点P在y轴右侧，点Q在点C下方时，利用△PCQ与△BDM相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P和点Q的坐标：；；

；；；；

综上所述：符合要求的点P和点Q的坐标为：

；；；；；；；；；；；.

{答案}解：(1)∵抛物线y=a+bx+1的对称轴为直线x=，其图象与x轴交于点A和点B(4，0)，

∴，解得，∴抛物线的解析式为.

当y=0时，，∴x=-1或4，∴A(-1,0)，∴OA=1.

当x=0时，y=1，∴C(0，1)，∴OC=1，∴OA=OC.

又∵∠AOC=90°，∴∠CAO=45°.

答案：抛物线的解析式为，……2分

∠CAO=45°.…3分

(2)由(1)知A(1，0)，过点N作NE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，

∵NM=DM，∠DMN=90°，∴△NEM≌△MFD，∴NE=MF，EM=DF.

由题意得：∠CAO=45°，AN=，AM=3t，

∴AE=NE=t， EM=AM-AE=2t，

∴DF=2t，MF=t，OF=4t-1，∴D(4t-1，2t）……5分

∴，又t＞0，故可解得：t=，……7分

经检验，当t=时，点M，N均未到达终点，符合题意.

此时D点坐标为（2，）.……8分

(3)答案不唯一，从下面12组点中任意选择四组即可.；；；；；；；；；；；.

……12分

说明：(1)问不需写解答过程，解析式写成y=(x+1)(x-4)也得分：(2)问用其他合理方法也可根据步骤给分，t值未检验不扣分：(3)问为结论开放题型，共有12组正确答案，考生每写出一组正确的点P，Q的坐标给1分，至多得4分.