2018北京朝阳高一（下）期末数学（教师版）

2018北京朝阳高一（下）期末

数    学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．（5分）在平面直角坐标系中，点，，如果直线的倾斜角为，那么实数等于　　

A．3 B．2 C．1 D．0

2．（5分）已知直线，．若，则实数的值是　　

A． B．1 C． D．2

3．（5分）甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在，内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为，，，则它们的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知两条不重合的直线，，两个不重合的平面，，那么下列选项正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

5．（5分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是线段，的中点，底面，则异面直线与所成角的正切值为　　

A． B． C． D．2

6．（5分）已知直线与圆交于，两点，若，则实数的值是　　

A． B．1 C． D．

7．（5分）在中，若，，且，则等于　　

A． B．2 C． D．3

8．（5分）若过点且斜率为的直线与圆在第一象限内有公共点，则实数的取值范围是　　)

A．， B． C．， D．，

9．（5分）刘徽是一位伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值估算到任意的精度．割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形去逼近圆．若在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是　　

A． B． C． D．

10．（5分）棱长为2正方体中，，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

11．（5分）设为虚数单位，计算　　．

12．（5分）为了解观众对某影片的看法，决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，若抽取的男观众人数是30，则抽取的女观众人数是　　．

13．（5分）在平面直角坐标系中，已知点和直线，则到的距离是　　；过点与直线平行的直线方程是　　．

14．（5分）若函数的图象同时平分圆的周长和面积，则称函数具有性质，请写出一个具有性质的函数　　．

15．（5分）如图，在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，0，，，0，，，1，，，1，，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在平面内的正投影是（填相应编号）　　；该四面体的体积是　　．

16．（5分）在平面直角坐标系中，已知点，和圆，为直线上的动点，关于直线的对称点记为，则线段的长度的最小值是　　．

三、解答题：本大题共4小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

17．（16分）某校为了解学生的计算机水平，从全体学生中随机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩作出频率（数分布表如下：

成绩低于60分为不合格，成绩不低于60分则为合格．

（Ⅰ）写出，的值；

（Ⅱ）若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数；

（Ⅲ）若从样本中的测试成绩不合格学生中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一人成绩在，的概率．

18．（16分）如图，已知，，，四点共面，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的长；

（Ⅲ）若，，求的面积．

19．（18分）在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，且，，，是对角线，的交点，．

求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，并说明理由．

20．（20分）在平面直角坐标系中，已知以点，为圆心的圆过原点，不过圆心的直线与圆交于，两点，且点，为线段的中点．

（Ⅰ）求的值和圆的方程；

（Ⅱ）若是直线上的动点，直线，分别切圆于，两点，求证：直线恒过定点；

（Ⅲ）若过点，的直线与圆交于，两点，对于每一个确定的，当的面积最大时，记直线的斜率的平方为，试用含的代数式表示．

2018北京朝阳高一（下）期末数学

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．【分析】通过直线的斜率公式，直接求解的值即可．

【解答】解：因为点，，直线的倾斜角为，

所以，解得．

故选：．

【点评】本题考查直线的斜率的定义，斜率的求法，考查计算能力．

2．【分析】由，解得，即可得出．

【解答】解：由，解得．

时，则实数．

故选：．

【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．【分析】根据三个频率分布直方图，结合方差的定义，对三组数据的方差大小作出大小判断．

【解答】解：根据三个频率分布直方图知，

第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；

第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；

第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，

数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，比第二组数据方差大；

综上可知．

故选：．

【点评】本题利用频率分布直方图，考查了三组数据的方差与标准差的应用问题，也考查了读图能力，是基础题．

4．【分析】在中，与相交、平行或异面；在中，与相交或平行；在中，与相交或平行；在中，由线面垂直，面面垂直的性质定理得．

【解答】解：由两条不重合的直线，，两个不重合的平面，，知：

在中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；

在中，若，，则与相交或平行，故错误；

在中，若，，，则与相交或平行，故错误；

在中，若，，，则由线面垂直，面面垂直的性质定理得，故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

5．【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，求出两向量夹角的余弦值，进一步得到异面直线与所成角的正切值．

【解答】解：三棱柱的侧棱与底面边长都相等，

，分别是线段，的中点，底面，

设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，1，，，2，，

，，，，1，，

设异面直线与所成角为，

则，

，则．

异面直线与所成角的正切值为．

故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

6．【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解．

【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，

则，

解得：．

故选：．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．

7．【分析】由及余弦定理可得：，结合已知可得，解方程可得的值．

【解答】（本题满分为8分）

解：由，及余弦定理可得：，（2分）

所以：，（4分）

因为：，

所以：，（6分）

可得：

所以解得：或2．（7分）

因为：，

．（8分）

故选：．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．

8．【分析】由题意画出图形，求出与圆相切的直线的斜率，则答案可求．

【解答】解：如图，

过点且斜率为的直线方程为，

即．

由圆的圆心到直线的距离，

解得．

实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

9．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二变形的面积，由测度比是面积比得答案．

【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二变形的一边所对的圆心角为，

则圆内接正十二变形的面积为．

圆的面积为，

由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．

故选：．

【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二变形的面积，是基础题．

10．【分析】由已知可得过，，三点的平面截正方体所得的截面是一个边长为的正六边形，进而得到答案．

【解答】解：如图所示：

取棱，，的中点，，，

则该截面是一个边长为的正六边形，

其面积为．

故选：．

【点评】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

11．【分析】在分式的分子、分母上同时乘以复数，然后根据复数的四则运算进行化简即可．

【解答】解：

故答案为：

【点评】本题主要考查了复数 的乘除的基本运算，属于基础试题．

12．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．

【解答】解：为了解观众对某影片的看法，

决定从300名男观众和500名女观众中按照性别用分层抽样的方法抽取若干人进行调查，

抽取的男观众人数是30，

设抽取的女观众人数是，

则，

解得，

抽取的女观众人数是50．

故答案为：50．

【点评】本题考查抽取的女观众人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13．【分析】利用点到直线的距离公式可得到的距离．利用点斜式可得过点与直线平行的直线方程．

【解答】解：点和直线，

则到的距离．

过点与直线平行的直线方程是：，化为：．

故答案为：，．

【点评】本题考查了点到直线的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．【分析】正比例函数的图象经过圆的圆心，平分圆的周长和面积

【解答】解：当直线经过圆的圆心时，满足性质，

故正比例函数满足条件，

故答案为：（主观题答案不唯一）

【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．

15．【分析】借助正方体，画出满足条件的四个顶点，进而可得答案．

【解答】解：满足条件的四面体如图所示：

，0，，，0，，，1，，，1，，

其在平面内的正投影如图②所示：

该四面体的体积，

故答案为：②，

【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题

16．【分析】根据题意，分析可得的轨迹为以为圆心，半径的圆，连接、，据此分析可得当、、三点共线时，最小，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，点，均在圆上，

如图，、关于直线对称，则，

则的轨迹为以为圆心，半径的圆，

连接、，

分析可得：当、、三点共线时，最小，此时，

即线段的长度的最小值是，

故答案为：．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析的轨迹，属于基础题．

三、解答题：本大题共4小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

17．【分析】（Ⅰ）根据频率和频数的关系即可求出，

（Ⅱ）求出成绩不低于60分的频率，由此能求估计该校计算机水平合格的学生人数．

（3）学生成绩在，的有4（人，记为，，，，学生成绩在，的有2（人，记为，，由此能求出所抽取的2人中至少有一人成绩在，的概率．

【解答】解：（Ⅰ），

（Ⅱ）由所给频率分布表可知，100名学生成绩不低于60的频率为，

若该校共2000名学生，估计该校计算机水平合格的学生人数为

（Ⅲ）学生成绩在，的有4（人，记为，，，，

学生成绩在，的有2（人，记为，，从这6名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，

它们是，，，，，，，，，，

，，，，，，，，

，，，，，，

，，，，

，，

又因为所抽取的2人中至少有一人成绩在，的结果有9种，即，，，，，，，，，，，，

，，，，，，

故所求的概率为．

【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真是题，注意列举法的合理运用．

18．【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数的关系式的变换求出结果．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和正弦定理求出结果．

（Ⅲ）利用三角形的面积公式求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）已知，，，四点共面，，，．

所以：．

，

，

．

（Ⅱ）利用，

解得：，

利用正弦定理，

解得：．

（Ⅲ）由于，，

所以：，

则：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

19．【分析】（Ⅰ）推导出，从而，由此能证明平面．

（Ⅱ）推导出平面，，，由此能证明平面．

（Ⅲ）过作，交于，过，由，得交于，连结，由此能求出在线段上存在点，使得．

【解答】证明：（Ⅰ）点在棱上，且，是对角线，的交点，．

，，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）平面平面，，平面平面，

平面，

平面，，

，，

平面．

解：（Ⅲ）在线段上存在点，使得．

理由如下：

过作，交于，过，

，交于，连结，

，，，

平面，，

故在线段上存在点，使得．

【点评】本题考查点线面平行、线面垂直的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由题意，求出，解得的值，可得圆心坐标和半径，由点，在直线上解得值，则的值和圆的方程可求；

（Ⅱ）设，则求出的中点坐标，以为直径的圆的方程可求，联立，

可得所在直线方程，则可证明直线恒过定点；

（Ⅲ）由题意可设直线的方程为，的面积为，则，当最大时，取得最大值，要使，只需点到直线的距离等于，即，整理得：，解得，然后分类讨论即可求出答案．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，，

即，解得．

圆心坐标为，半径为1，

点，在直线上，

．

故，圆的方程为；

（Ⅱ）证明：设，则的中点坐标为，

以为直径的圆的方程为，

即．

联立，

可得所在直线方程为：．

直线恒过定点；

（Ⅲ）解：由题意可设直线的方程为，的面积为，

则，

当最大时，取得最大值．

要使，只需点到直线的距离等于，

即，

整理得：，解得．

①当，时，最大值是1，此时，即．

②当，时，，．

是，上的减函数，当最小时，最大．

过作于，则，当最大时，最小．

，且，

当最大时，取得最大值，即最大．

，当时，取得最大值．

当的面积最大时，直线的斜率，．

综上所述，．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是难题．