2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（ⅱ）

这是一份2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（ⅱ），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.，直线的极坐标方程，直线的极坐标方程步骤等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（Ⅱ）
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）函数y在x＝1处的导数值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
2．（4分）（2014•青岛一模）抛物线y＝8x2的焦点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，） D．（0，）
3．（4分）（2017秋•上虞区期末）双曲线1的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
4．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．
C． D．
5．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知O为坐标原点，椭圆上的点M到左焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON的值等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（4分）（2016•潮州校级模拟）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）（2018秋•洛阳期末）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积等于（　　）
A． B． C．6 D．3
8．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．1＜e＜2 B．1≤e≤2 C．1＜e≤2 D．1≤e＜2
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
9．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝xex的导数为　 　．
10．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离与椭圆的长轴长相等，则抛物线的标准方程为　 　．
11．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知定点M（3，4），F为抛物线y2＝8x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P的坐标为　 　．
12．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知直线l的参数方程为（t为参数），以平面直角坐标系的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的位置关系是　 　．
13．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x+lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　 　．
14．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知点P圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为　 　．
三、解答题（共2道大题，共44分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
15．（9分）（2015秋•济南期末）设函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性．
16．（35分）（2017秋•海淀区校级期末）已知椭圆的一个顶点为B（0，1），半焦距为c，离心率，又直线l：y＝kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且P（x0，y0）为MN中点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若k＝1，m＝﹣1，求弦MN的长；
（3）若点恰好平分弦MN，求实数k，m；
（4）若满足|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围并求kMNkOP的值；
（5）设圆T：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与椭圆C相交于点E与点F，求的最小值，并求此时圆T的方程；
（6）若直线l是圆的切线，证明∠MON的大小为定值．

2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）函数y在x＝1处的导数值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【分析】利用导数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵，∴f′（1）．
故选：D．
【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
2．（4分）（2014•青岛一模）抛物线y＝8x2的焦点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，） D．（0，）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把抛物线y＝8x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线y＝8x2的标准方程为 x2y，p，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y＝8x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
3．（4分）（2017秋•上虞区期末）双曲线1的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，进而结合渐近线的方程并代入a、b的值计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：1，
其中焦点在x轴上，且a3，b4，
则其渐近线方程为：y＝±x，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值．
4．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．
C． D．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则，
解可得：﹣1＜m＜2，且m，
故m的取值范围为（﹣1，）∪（，2）；
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．
5．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知O为坐标原点，椭圆上的点M到左焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON的值等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】首先根据椭圆的定义求出|MF2|＝6的值，进一步利用三角形的中位线求得结果．
【解答】解：椭圆的a＝4，
设右焦点为F2，
根据椭圆的定义得：|MF1|+|MF2|＝2a＝8，
|MF1|＝2，可得|MF2|＝6，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON||MF2|＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理，考查运算能力，属于基础题．
6．（4分）（2016•潮州校级模拟）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x＝﹣2，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣2，0），此时由双曲线的性质a2+b2＝c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得 ，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．
【解答】解：因为抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，
则由题意知，点F（﹣2，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2＝c2＝4，
又双曲线的一条渐近线方程是yx，
所以 ，
解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的方程为 ．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．
7．（4分）（2018秋•洛阳期末）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积等于（　　）
A． B． C．6 D．3
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；58：解三角形；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，椭圆，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m+n＝2a＝10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，联立解得mn，即可得出．
【解答】解：如图所示，椭圆，可得a＝5，b＝3，c4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝2a＝10，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn＝64，即102﹣3mn＝64，解得mn＝12．
∴△F1PF2的面积Smnsin60°3．
故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．1＜e＜2 B．1≤e≤2 C．1＜e≤2 D．1≤e＜2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】先根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a进而根据|PF1|＝3|PF2|，求得a＝|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．
【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即3|PF2|﹣|PF2|＝2a．
∴a＝|PF2|，|PF1|＝3a
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|＝2a，
∴2，
当p为双曲线顶点时，2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
9．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝xex的导数为　（x+1）ex　．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．
【分析】根据函数的导数公式以及导数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝xex，
∴函数的导数f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex，
故答案为：（x+1）ex
【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的运算法则是解决本题的关键．比较基础．
10．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离与椭圆的长轴长相等，则抛物线的标准方程为　y2＝12x　．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得焦点到准线的距离，求得椭圆的a，可得长轴长2a，可得p，进而得到抛物线的标准方程．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线为x，
椭圆的a＝3，
由抛物线的焦点F到准线的距离与椭圆的长轴长相等，
可得p＝2a＝6，
可得抛物线的标准方程为y2＝12x．
故答案为：y2＝12x．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及椭圆的几何性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知定点M（3，4），F为抛物线y2＝8x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P的坐标为　（2，4）　．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线为x＝﹣2，
设点M在准线上的射影为D，连接PF，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，
且最小值为3﹣（﹣2）＝5，
此时P的坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，注意运用定义法，属中档题．
12．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知直线l的参数方程为（t为参数），以平面直角坐标系的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的位置关系是　相切　．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】首先利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，进一步利用直线和抛物线位置关系的应用求出结果．
【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+1＝0，
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立，
整理得x2﹣2x+1＝0，
解得：x＝1，y＝2，
所以直线与抛物线有且只有一个交点，
直线和抛物线的位置关系为相切．
故答案为：相切．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线和抛物线位置关系的应用．
13．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x+lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　x﹣y﹣3＝0　．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x+lnx的导数为f′（x）＝3x2﹣3，
可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，
且f（1）＝1﹣3＝﹣2，
可得切线方程为y+2＝x﹣1，
可得x﹣y﹣3＝0．
故答案为：x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，注意运用导数的几何意义和直线方程的点斜式，考查运算能力，属于基础题．
14．（4分）（2017秋•海淀区校级期末）已知点P圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为　7　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】点Q在椭圆上移动，可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2＝4，可得圆心C（4，0），半径r＝2．利用两点之间的距离公式可得：|CQ|，进而得出|PQ|的最大值．
【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），
由圆C：（x﹣4）2+y2＝4，可得圆心C（4，0），半径r＝2．
∴|CQ|5，当且仅当cosθ＝﹣1时取等号．
∴|PQ|的最大值＝5+r＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程参数方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式、三角函数求值、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共2道大题，共44分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
15．（9分）（2015秋•济南期末）设函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）可得函数定义域，解出f'（x）＝0，得x＝1．然后考虑在1左右两侧导数符号，由极值定义可求；
（2）化简可得f′（x），按照两根与1的大小关系讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
当a＝1时，．
令f'（x）＝0，得x＝1．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）极小值＝f（1）＝1，无极大值．
（2），
当，即a＝2时，上是减函数；
当，即a＞2时，令f'（x）＜0，得，令f'（x）＞0，得，
当，a＜2时与已知矛盾，舍，
综上，当a＝2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞2时，上单调递减，在上单调递增；
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查分类讨论思想，导数是解决函数的有力工具，应重点掌握．
16．（35分）（2017秋•海淀区校级期末）已知椭圆的一个顶点为B（0，1），半焦距为c，离心率，又直线l：y＝kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且P（x0，y0）为MN中点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若k＝1，m＝﹣1，求弦MN的长；
（3）若点恰好平分弦MN，求实数k，m；
（4）若满足|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围并求kMNkOP的值；
（5）设圆T：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与椭圆C相交于点E与点F，求的最小值，并求此时圆T的方程；
（6）若直线l是圆的切线，证明∠MON的大小为定值．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线y＝x﹣1与椭圆方程，求得交点，运用两点的距离公式可得所求值；
（3）运用点差法和中点坐标公式，化简整理可得所求值；
（4）运用中点坐标公式和联立直线方程与椭圆方程，运用韦达定理，解不等式可得所求范围；
（5）设E（x3，y3）（y3＞0），F（x3，﹣y3），运用向量的数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，可得所求最小值与圆方程；
（6）运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，以及直线和圆相切的条件：d＝r，即可得证．
【解答】解：（1）根据题意：，解得，所以椭圆C的标准方程为；
（2）联立直线方程和椭圆方程：，整理得：5x2﹣8x＝0，解得x＝0或，
所以M（0，﹣1），，则；
（3）恰好平分弦MN，所以，
M，N在椭圆上，则，相减得，
即，即，
则，即，
点Q在直线上，所以直线，整理得，所以m＝1，
综上所述：，m＝1；
（4）由（3）知，等号两边同时除以（x1﹣x2）×2x0，
得，所以；
联立直线方程和椭圆方程：，
整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，解得，
则，所以，
则，
因为|BM|＝|BN|，所以kBPk＝﹣1，
则，化简得，
则，又，所以，解得，
综上所述：，；
（5）设E（x3，y3）（y3＞0），F（x3，﹣y3），
则，，
所以，点E与点F在椭圆上：，
所以，当时，取得最小值，
此时，，
综上所述：的最小值为，此时圆T的方程；
（6）证明：由（4）得
且（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以，，
所以，
直线l是圆的切线，所以点O到直线l距离为，
即，
整理得5m2﹣4k2﹣4＝0，所以，
即∠MON的大小为90°．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系、以及直线和圆的位置关系，综合考查点差法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．

考点卡片
1．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
2．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
4．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
5．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e（0＜e＜1）
e（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
6．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
7．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

8．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
9．圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．
10．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
11．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．

二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）

三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．

四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）

五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
12．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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