北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

  1. 如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（    ）

A. 命题p，q均为真命题       B. 命题p，q均为假命题

C. 命题p，q有且只有一个为真命题    D. 命题p为真命题，q为假命题

2. 已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y+1=0，则f（1）+2f'（1）的值是（    ）

A.      B. 1        C.       D. 2

  3. 已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB的中点M的横坐标是（    ）

A. 2       B.        C.      D.

  4. 函数f（x）=x·ex的最小值是（    ）

A. -1      B. -e        C. -      D. 不存在

  5. “a>1”是“函数f（x）=ax+cosx在（-，+）上单调递增”的（    ）

A. 充分而不必要条件        B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件

  6. 已知双曲线的一个焦点为F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心。若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A.       B.        C. 2       D.

7. 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）

A. a>0，b<0，c>0，d>0       B. a>0，b<0，c<0，d>0

C. a<0，b<0，c>0，d>0       D. d>0，b>0，c>0，d<0

8. 如图，抛物线W：y2=4x与圆C：（x-1）2+y2=25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是（    ）

A. （10，14）         B. （12，14）   

C. （10，12）         D. （9，11）

二、填空题共6小题。

  9. 命题x>0，x2+x≤0的否定是________。

  10. 若椭圆（m<4）的离心率为，则m=________。

  11. 函数f（x）=x3-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是________，最小值是________。

  12. 若命题“x∈R，使得x2+（1-a）x+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________。

  13. 抛物线y2=8x的准线与双曲线C：=l的两条渐近线所围成的三角形面积为________。

14. 设函数f（x）=

（1）若a=0，则f（x）的最大值________；

（2）若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________。

三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 设函数f（x）=x3+ax2+bx+c满足f'（0）=4，f'（-2）=0。

（1）求a，b的值及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围。

16. 已知椭圆E：（a>b>0）的离心率为，右焦点为F（1，0）。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程。

17. 已知函数f（x）=lnx。

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求证：当x>0时，f（x）≥l-；

（3）若x-1>alnx对任意x>1恒成立，求实数a的最大值。

18. 已知椭圆C：=1（a>b>0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点。

（1）求圆O和椭圆C的方程；

（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N。求证：∠MQN为定值。

参考答案

1. C  2. D  3. C  4. C  5. A  6. B  7. A  8. C

9. x>0，x2+x>0   10. 3   11. 3，-17   12. （-，-1）（3，+）  13. 2 

14. （1）2；（2）（-，-1）。

15. （1）a=b=4，y=4x+c；（2）（0，）。

16. （1）根据题意得c=l，所以解得a=，b=1，

所以椭圆E的方程为。

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）。

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1），

由得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-l）=0，

所以x1+x2=，x1x2=，

所以y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-(x1+x2）+1]=。

又因为OM⊥ON，所以=0，

所以x1x2+y1y2=，

计算得k=±，

所以直线l的方程为y=±（x-1）。

17. （1）f'（x）=，f'（1）=1，

又f（1）=0，所以切线方程为y=x-1。

（2）由题意知x>0，令g（x）=f（x）-（1-）=lnx-l+。

g'（x）=-=，

令g'（x）==0，解得x=1。

易知当x>l时，g'（x）>0，易知当0<x<l时，g'（x）<0。

即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增。

所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0，

即g（x）=f（x）-（1-）≥0，即f（x）≥（1-）。

（3）设h（x）=x-1-alnx（x≥1），依题意，对于任意x>l，h（x）>0恒成立。

h'（x）=1-=，

a≤l时，h'（x）>0，h（x）在[1，+）上单调递增，

当x>l时，h（x）>h（1）=0，满足题意。

a>1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

h（x）在（1，a）上单调递减，所以h（a）<h（1）=0，

即当a>1时，总存在h（a）<0，不合题意。

综上所述，实数a的最大值为1。

18. （1）依题意得解得：a=2，b=c=。

所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为。

（2）如图所示，

设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），则

即

又由AP：y=（x+2）得M（0，）。

由BP：y=（x-2）得N（0，-）。

所以=（-xQ，-y0）=（-xQ，-），=（-xQ，--y0）=（-xQ，-）.

所以·==2-+.

所以QM⊥QN，即∠MQN=90°。