2021北京四十三中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京四十三中高一（上）期中

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试卷满分：150分  考试时间：120分钟

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，那么集合等于（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 满足的集合的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数的定义域是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列函数中，在区间上为增函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

9. 已知，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11. 已知方程的两根为，，则的值为______．

12. 若 ，则的最小值为________________．

13. 函数 ，则________；若则________．

14. 已知函数为奇函数，且当时，，则_________.

15. 二次不等式的解集是，则=___________.

16. 函数满足下列性质：

（）定义域为，值域为．

（）图象关于对称．

（）对任意，，且，都有．

请写出函数一个解析式__________（只要写出一个即可）．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）．

18. 求下列方程组的解集：

（1）  ；

（2）．

19. 已知函数的定义域为集合A，．

（1）求集合A；

（2）若全集，，求；

（3）若，求的取值范围．

20. 已知全集，集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

21. 已知函数，其中．

（1）当时，写出单调区间，并求的最小值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（3）求关于的不等式的解集．

22. 已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）用函数单调性定义证明：在上为增函数；

（3）求函数在区间上的最大值和最小值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，那么集合等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合B，根据并集运算求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C

【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.

2. 命题“，”的否定是

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，

故命题的否定是“”.

本题选择C选项.

3. 若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质或取特殊值即可判断﹒

【详解】若a＝0或b＝0，无意义，∴A错误；

若a，b＜0，无意义，∴B错误；

若，则，∴C错误；

，则，∴D正确﹒

故选：D﹒

4. 满足的集合的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用列举法求得集合的个数.

【详解】由于，

所以，共种可能.

故选：C

5. 函数的定义域是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】偶次开根，根号内为非负，据此列出不等式即可求得x的范围﹒

【详解】或x≤－1，

故选：B﹒

6. 下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性确定正确选项.

【详解】A，在上递减，不合题意.

B，开口向下，对称轴为，所以在区间上是增函数，正确.

C，在上递减，不合题意.

D，，在上递减，不合题意.

故选：B

7. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的值域和奇偶性确定正确选项.

【详解】是非奇非偶函数，A错误，

是偶函数，B错误，

的值域为，C错误.

的值域为，且为奇函数，D正确.

故选：D

8. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】二次函数与轴有两个交点,可知,求解即可.

【详解】二次函数有两个不同的零点,则,解得或.

故选:D.

【点睛】本题考查二次函数的零点,考查学生的计算求解能力,属于基础题.

9. 已知，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得；

【详解】解：当，时，，但；当，时，，但；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.

【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.

10. 已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

函数零点的个数，即为函数与函数图象交点个数，结合函数图象可得实数的取值范围．

【详解】因为关于的函数有且只有三个不同的零点，

所以函数与函数图象有三个不同的交点，画出图象，如图：

由图可知，当时，函数与函数图象有三个不同的交点，

所以实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11. 已知方程的两根为，，则的值为______．

【答案】7

【解析】

【分析】利用韦达定理即可求解.

【详解】由韦达定理可知，，

所以.

故答案为：7.

12. 若 ，则的最小值为________________．

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得最小值.

【详解】，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

13. 函数 ，则________；若则________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先求f(－2)，再求f(f(－2))即可；当f(x)＝3时，分x≤－1和x＞－1时进行讨论﹒

【详解】，

，

又，

当时，由得；

当，时，有，得，舍．

故x＝

故答案为：

14. 已知函数为奇函数，且当时，，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数为奇函数，由求解．

【详解】因为函数为奇函数，且当时，，

所以．

故答案为：-2

15. 二次不等式的解集是，则=___________.

【答案】

【解析】

【分析】由条件可得时方程的两个根，利用韦达定理建立方程解出即可.

【详解】因为二次不等式的解集是

所以时方程的两个根，所以

解得，所以

故答案为：

16. 函数满足下列性质：

（）定义域为，值域为．

（）图象关于对称．

（）对任意，，且，都有．

请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.

【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，

此时对称轴为，开口向上，满足（），

因为对任意，，且，都有，

等价于在上单调减，

∴，满足（），

又，满足（），故答案为．

【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）根据绝对值不等式的解法求得不等式的解集.

（3）根据分式不等式的解法求得不等式的解集.

【小问1详解】

依题意：，解集为.

【小问2详解】

依题意：或，或，解集为或.

【小问3详解】

依题意：,,,,解集为.

18. 求下列方程组的解集：

（1）  ；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用加减消元法求得正确结果.

（2）利用代入消元法求得正确结果.

【小问1详解】

，

①得：③，

③②得：，

代入①，

，

所以方程组的解集为.

【小问2详解】

由①得代入②，

，

，

或，

当时，，

当时，，

所以方程组的解集为.

19. 已知函数的定义域为集合A，．

（1）求集合A；

（2）若全集，，求；

（3）若，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）﹒

【解析】

【分析】(1)求出使f(x)有意义的x的范围即可；

(2)先计算，再按交集的运算法则计算即可；

(3)，据此即可求解a范围﹒

【小问1详解】

，，；

【小问2详解】

当时，，，；

【小问3详解】

，，，

∴a求值范围是．

20. 已知全集，集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；或   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得，.

（2）根据列不等式组，由此求得的取值范围.

【小问1详解】

因为,

所以或,

当时，,

所以,

或

【小问2详解】

因为全集，所以集合．

因为，所以，

解得，所以．

21. 已知函数，其中．

（1）当时，写出单调区间，并求的最小值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（3）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）单调递增区间；单调递减区间；最小值   

（2）   

（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的对称轴和开口方向求得单调区间以及最小值.

（2）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

（3）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【小问1详解】

当时，．

开口向上，对称轴,

单调递增区间,

单调递减区间,

所以，当时，取得最小值．

【小问2详解】

抛物线开口向上，对称轴，

因为在上是减函数，

，

，

所以取值范围是.

【小问3详解】

即．

① 当时，的解集为；

② 当时，的解集为；

③ 当时，的解集为．

22. 已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）用函数单调性的定义证明：在上为增函数；

（3）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）函数为奇函数；证明见解析   

（2）证明见解析    （3）；

【解析】

【分析】（1）通过证明来证得为奇函数.

（2）利用单调性的定义来证得在上为增函数.

（3）根据的单调性来求得在区间上的最大值和最小值.

【小问1详解】

由已知，函数的定义域为．

，都有，

．

所以函数为奇函数．

【小问2详解】

任取，且，则

那么

因为 ， 所以 ，，，

所以 ，

所以 ，

所以 在上是增函数．

【小问3详解】

由第（1）（2）问可知函数在上是增函数，

当时，的最小值为，

当时，的最大值为.