安徽省滁州市九校2022-2023学年高一数学下学期4月期中联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度第二学期高一期中考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册8.3结束.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，然后根据集合交集运算即可求解.

【详解】∵集合，而，

∴，∴A∩B中元素的个数为4．

故选：C．

2. 设，其中a，b是实数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数相等即可求出结果.

【详解】因为，即，

则，即，

故选：B.

3. 下列说法正确的是（    ）

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C. 底面是矩形的四棱柱是长方体

D. 三棱台有8个顶点

【答案】B

【解析】

【分析】可通过反例判断A错误；由圆台的性质判断B正确；由长方体的性质判断C错误；通过图形判断D错误.

【详解】各个面都是三角形的几何体如下图所示：

该几何体不是三棱锥，故选项A错误；

由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项B正确；

若四棱柱的底面是矩形，侧棱与底面矩形不一定垂直，故选项C错误；

如图，

三棱台有6个顶点，故选项D错误.

故选：B

4. 在中，，，则外接圆的半径为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理运算求解.

【详解】由正弦定理，则，

故外接圆的半径为1.

故选：A.

5. 已知△ABC是正三角形，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出与的夹角，然后利用求投影向量的公式即可求解.

【详解】因为△ABC是正三角形，且，所以以为邻边作平行四边形，则四边形是菱形，是的中点，

所以，即与的夹角为，

所以在上投影向量为

（其中表示与同方向的单位向量）.

故选：B.

6. 现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，先求出圆柱高的取值范围，然后利用柱体的体积公式和球的体积公式即可求解.

【详解】由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为．

则圆柱盒子的体积，

因为一个小球的体积，所以，

故选：C．

7. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 9 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.

【详解】因为，所以，

所以，即，则．

因为点P是圆O内部一点，所以，所以，

则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,

故选：A.

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．

【详解】分别对，，两边取对数，得，，．

．

由基本不等式，得:

，

所以，

即，所以．

又，所以.

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，其中z为虚数，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，的虚部为－2

B. 当时，

C. 当时，

D. 当时，在复平面内对应的点在第二象限

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据复数的运算和几何意义逐项进行分析验证即可求解.

【详解】当时，，

∴ω的虚部为－4，故选项A错误；

当时，，

则，故选项B正确；

当时，．

∴，故选项C正确；

当时，在复平面内对应的点在第二象限，故选项D正确，

故选：BCD．

10. 已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 的最小值为3 D. 当时，与的夹角为钝角

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量平行的坐标运算可判定A项，用向量的数量积与模的关系计算可判定B项，用模的坐标表示及函数求最值可判定C项，注意向量垂直时的参数值来判定D项即可.

【详解】若，则，即，故A正确；

若，则，∴，

∴，∴，即，故B错误；

∵，

∴（当，即时取等号），故C正确；

当时，易得，即与的夹角为直角，故D错误.

故选：AC．

11. 一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.

【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C；

当截面过正方体的体对角线时可得D；

当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A；

但无论如何都不能截得B．

故选：ACD

12. 已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（    ）

A. 存在，使得是偶函数 B.

C. 是的整数倍 D. 的最大值是6

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数满足的性质推出，结合三角函数为偶函数性质，可判断A；根据正弦型函数的对称性可判断B；结合，可判断C；当时，可列式求解，根据解的结果可判断D.

【详解】对于A,∵，成立，∴，

整理得，解得，

，

假设存在，使得是偶函数，则，

即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；

对于B，因为，函数的图象关于对称，

∴，故B正确；

对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确；

对于D，∵函数在区间上单调，∴，即，

当时，由，整理得，

故无解，故D错误．

故选：BC．

【点睛】难点点睛：本题综合考查三角函数的性质的应用，解答时要能综合应用函数的单调性以及对称性等，列式求解，要注意参数的表达式的求解，形式较为复杂，需细心.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的值域为________.

【答案】

【解析】

【分析】首先根据题意得到，再根据单调性求值域即可.

【详解】因为，

所以.

所以函数的值域为：

故答案为：

14. 如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则△的边上的高为________.

【答案】

【解析】

【分析】作线段，交轴于点，则所求的高为，根据三角知识即可求解．

【详解】作线段，交轴于点，

则，

所以边上的高为

故答案为：．

15. 甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋12m高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为75°，一楼楼底的俯角为45°，那么这座高楼的高度为_____________m．

【答案】##

【解析】

【分析】利用两角和正切公式和直角三角形中正切值即可求解

【详解】设高楼高度为x m，甲站的房屋与高楼水平距离为y m，如图，

由题意知：，，

因为，

在中，①，在中， ②，

①②联立，解得．

故答案为：.

16. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．

【答案】（，）

【解析】

【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知复数，其中，i为虚数单位．

（1）当m为何值时，z为纯虚数；

（2）若复数z在复平面内对应点位于直线的上方，求m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解；

（2）令，求解即可.

【小问1详解】

，

由，解得，故当时，z为纯虚数.

【小问2详解】

由题可得：，

∴，即，

∴m的取值范围为．

18. 在中，分别是角所对的边，且满足．

（1）求角的大小；

（2）设向量，向量，且，判断的形状．

【答案】（1）；   

（2）直角三角形

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求解即可；

（2）由，可得，即有，，即可得结论.

【小问1详解】

解：因为，

所以，

因为，

所以；

【小问2详解】

解：因为，，且，

所以，

所以，

所以或（舍），

当时，，

所以为直角三角形．

19. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 由函数是定义域为的奇函数，得，当时，由奇函数的性质及时的解析式可求得，即可把的解析式写成分段函数的形式；

(2)由(1)的解析式得到函数在和上的单调性，当时，由可知函数在上单调递增，利用奇函数的性质把不等式转化为，由的单调性即可得出，从而求出解集.

【小问1详解】

因为函数是定义域为奇函数，所以，

当时，，则，

所以当时，，

所以；

【小问2详解】

由（1）得，

则函数在和上分别单调递增．

当时，因为，所以函数在上单调递增，

由得，

因为，所以，

由函数在上单调递增得，解得，

故不等式的解集为．

20. 如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且，，设，．

（1）用向量，表示；

（2）若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解；

（2）利用平面向量的线性运算得到，，再结合点M，P，C三点共线，则存在唯一的实数t，，使得，进而得到，，令，利用二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

．

【小问2详解】

，，

∵点P在线段CM上，即点M，P，C三点共线，

∴存在唯一的实数t，，使得，

∴，

而，

∴，，

∴令．

对称轴为，故，

即的最大值为．

21. 已知函数的最小正周期是．

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1），单调增区间为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的最小正周期是求出，即可得到的解析式，由正弦函数的单调性得到增区间满足，解出即可得到的单调递增区间；

（2）先通过三角函数图像的变换求出函数的解析式，由化简得在上恒成立，转化为，，求出的最大值与最小值，代入即可求出m的取值范围．

【小问1详解】

∵，

由，解得，

∴．

由，．得，．

∴，．

∴的单调递增区间为，．

【小问2详解】

依题意得，

∵，

∴，

当时，恒成立，只需，

下面求的最大值与最小值：

当时，，所以为单调减函数，

∴，，

从而，，即，

故m的取值范围是．

22. 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点B在弧上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】(1)由题意结合图形，可得，由正弦定理得， ，代入的周长得，由三角恒等变换化简得，根据的范围即可求出的最大值；

(2)由图可知，的面积的面积相等，由余弦定理得，再由基本不等式得，代入的面积公式即可求面积的最大值．

【小问1详解】

因为，，所以，，

又因为，，

所以在中，由正弦定理知得，

∴，，

周长为，，

所以，

∵，∴，

∴当时，即时，周长取最大值，为．

【小问2详解】

由题意，可知（2）中的面积与（1）中同底等高，即二者面积相等，

在中，，，，，

由余弦定理知：，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

．

即花圃面积的最大值为．