2022-2023学年安徽省滁州市九校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市九校联考高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则中元素的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，其中，是实数，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  下列说法正确的是(    )

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C. 底面是矩形的四棱柱是长方体
D. 三棱台有个顶点

4.  在中，，则外接圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知是正三角形，且，则向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  现有一个底面圆半径为的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下个这样的小球盒子的盖子能封上，那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，其中为虚数，则下列结论正确的是(    )

A. 当时，的虚部为
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，在复平面内对应的点在第二象限

10.  已知向量，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 当时，与的夹角为钝角

11.  一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数其中，，，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是(    )

A. 存在，使得是偶函数 B.
C. 是的整数倍 D. 的最大值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数的值域为______．

14.  如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为__________．

 

15.  甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为，一楼楼底的俯角为，那么这座高楼的高度为______

16.  在平面四边形中，，，则的取值范围是________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，其中，为虚数单位．
当为何值时，为纯虚数；
若复数在复平面内对应的点位于直线的上方，求的取值范围．

18.  本小题分
在中，，，分别是角，，所对的边，且满足．
求角的大小；
设向量，向量，且，判断的形状．

19.  本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．
求函数的解析式；
若，求不等式的解集．

20.  本小题分
如图，已知四边形为平行四边形，点在延长线上，且，，设，．
用向量，表示；
若线段上存在一动点，且，求的最大值．

21.  本小题分
已知函数的最小正周期是．
求的解析式，并求的单调递增区间；
将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
如图，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上不含端点，，另一顶点在半径上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；
如图，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点、分别在半径、上，且，，求花圃面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为集合，集合，
所以，其中元素的个数为．
故选：．
化简集合，根据交集的定义求出，即可得出集合中元素的个数．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
则，即，
故选：．
利用复数相等即可求出结果．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，如图

该几何体是由两个三棱锥拼接而成的组合体，各个面都为三角形，但不是三棱锥，A错误；
对于，项根据圆锥、圆台的结构特征，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确；
对于，底面是矩形的四棱柱可能为斜四棱柱，C错误；
对于，三棱台有个顶点，D错误．
故选：．
根据题意，由三棱锥、圆台、棱柱和棱台的几何结构依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱锥和圆柱的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得，
，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
是的中点，
是正三角形，平分，
，，
向量在向量上的投影向量为．
故选：．
由题意可知是的中点，所以，，再利用投影向量的公式求解即可．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知：圆柱盒子内高的范围为，
则圆柱盒子的体积，
因为一个小球的体积，
所以．
故选：．
根据题意，先求出圆柱高的取值范围，然后利用柱体的体积公式和球的体积公式即可求解．
本题考查了柱体的体积公式和球的体积公式，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以，即，
则，
因为点是圆内部一点，所以，
所以，
则，当且仅当时等号成立，
故的最小值是．
故选：．
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其范围，再根据平方后的式子，即可求得答案．
本题主要考查平面向量数量积的性质及运算，考查模的最值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分别对，，两边取对数，得，，，，
由基本不等式得，
所以，
即，
所以，
又，所以．
故选：．
对已知等式两边分别取对数求出，，，然后通过换底公式并结合基本不等式比较，的大小，从而得到，，的大小关系．
本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：复数，当时，，复数的虚部为，
所以不正确；
，所以B正确；
复数，当时，，
所以，
所以C正确；
在复平面内对应的点在第二象限，
所以D正确．
故选：．
通过复数的除法运算法则，结合共轭复数以及复数的模，判断选项的正误即可．
本题考查复数的运算，几何性质，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，向量，，且，所以，解得，选项A正确；
对于，若，则，所以，即，解得，选项B错误；
对于，因为，所以时，取得最小值为，选项C正确；
对于，由，解得，所以时，与的夹角为钝角，选项D错误．
故选：．
根据平面向量的坐标运算和共线定理，以及数量积运算和模长、夹角公式，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得，
当截面过正方体的体对角线时得，
当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得，
但无论如何都不能截出，
故选：．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数其中，，恒成立，
，，，即，．
函数在区间上单调，，，最小正周期．
综上， ．
再根据，可得，，即，．
由求得，，或
当，，，此时，只有BC正确．
当，，，此时，只有BC正确．
故选：．
由题意，根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为．
先求的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．
本题考查求对数函数的值域，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
过作，结合斜二测的性质进行求解即可．

【解答】

解：如图，过作，

则，
与轴垂直，且，
，
根据斜二测的性质，得的边上的高等于，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：设高楼高度为，甲站的房屋与高楼水平距离为，如下图所示，甲在点．
由题意知：，，，，，
因为，
在中，，
在中，，
联立，解得．

故答案为：．
利用两角和的正切公式及直角三角形中正切值即可求解．
本题考查解三角形中的求高度类型，要注意正切公式的灵活应用，属中档偏易题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查求的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
作出图形，得到，再由，即可求出的范围．
【解答】
解：如图所示，延长，交于点，
则在中，，，，
设，
由正弦定理得，
则，同理可得，
设，
，
，
，
，
而，
的取值范围是
故答案为：
  

17.【答案】解：由，解得．
当时，为纯虚数；
若复数在复平面内对应的点位于直线的上方，
则，即，即．
的取值范围是． 

【解析】由实部为且虚部不为列式求解值；
由虚部大于实部列不等式求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式的解法，是基础题．
 

18.【答案】解：在中，由余弦定理，有，
由已知，，代入可得，
又，．
由可得，即，
且，，
，从而．
故为直角三角形． 

【解析】由余弦定理可得的值，从而得到；
由数量积的坐标表示，可得的值，结合角度范围可得角，从而判断形状．
本题考查余弦定理、数量积的坐标表示及解三角形等知识，属简单题．
 

19.【答案】解：因为函数是定义域为的奇函数，且当时，，
当时，，
则，
所以，
又，
故；
由得，
若，则，
故在上单调递增，
因为为奇函数，
由不等式可得，
所以，
解得．
故的范围为． 

【解析】由已知结合奇函数的定义先求出时的函数解析式，结合奇函数性质求出，进而可求；
先判断时函数的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式的解集．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：．
、、三点共线，可设，，
，
，由平面向量基本定理得：，，，
，
当时，有最大值，为． 

【解析】由向量的线性运算直接求；
由、、三点共线可设，，再由向量的线性运算求得，由平面向量基本定理可得，，从而得到，的等量关系，将用表示出来，代入要求式转化为关于的二次函数的最值问题．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，二次函数的最值问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：的最小正周期是，
所以，解得，
所以，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
依题意得，
，
，
当时，恒成立，
只需，
当时，，
所以为单调减函数，
所以，，
所以，，
所以，
即的取值范围为． 

【解析】由函数的最小正周期是求出，即可得到的解析式，由正弦函数的单调性得到增区间满足，，解出即可得到的单调递增区间；
先通过三角函数图像的变换求出函数的解析式，由化简得在上恒成立，求出的最大值与最小值，代入即可求出的取值范围．
本题考查了三角函数的性质、转化思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，，
又，设，，
在中，由正弦定理可知，，
，，
的周长，，
化简得．
时，的周长有最大值为米．
答：周长的最大值为米；
图中与图中面积相等，
而在中，，，，
．
由余弦定理知，，
，
，当且仅当时取“”，
平方米．
答：花圃面积的最大值为平方米，此时米． 

【解析】由已知可得，又，设，，利用正弦定理求得，，作和后利用三角函数求最值；
由已知结合余弦定理求解的最大值，代入三角形面积公式求解．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．