安徽省滁州市九校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

安徽省滁州市九校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则中元素的个数为(   )

A.2 B.3 C.4   D.5

2、设，其中a，b是实数，则(   )

A.，  B.，  

C.，  D.，

3、下列说法正确的是(   )

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.三棱台有8个顶点

4、在中，，，则外接圆的半径为(   )

A.1 B. C.   D.2

5、已知是正三角形，且，则向量在向量上的投影向量为(   )

A. B. C.   D.

6、现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为(   )

A. B. C.   D.

7、窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是(   )

A.3 B.4 C.9  D.16

8、已知，，，则a，b，c的大小关系为(   )

A.  B.

 C.  D.

二、多项选择题

9、已知复数，其中z为虚数，则下列结论正确的是(   )

A.当时，的虚部为-2

B.当时，

C.当时，

D.当时，在复平面内对应的点在第二象限

10、已知向量，，则下列说法正确的是(   )

A.若，则  B.若，则

C.的最小值为3 D.当时，与的夹角为钝角

11、一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是(   )

A.  B.

C.  D.

12、已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是(   )

A.存在，使得是偶函数 B.

C.是的整数倍  D.的最大值是6

三、填空题

13、函数的值域为___________.

14、如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与x＇轴垂直，且，则的边AB上的高为____________.

15、甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋12m高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为75°，一楼楼底的俯角为45°，那么这座高楼的高度为__________m.

16、如图，在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是__________.

四、解答题

17、已知复数，其中，i为虚数单位.

（1）当m为何值时，z为纯虚数；

（2）若复数z在复平面内对应的点位于直线的上方，求m的取值范围.

18、在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足.

（1）求角C的大小；

（2）设向量，向量，且，判断的形状.

19、已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求不等式的解集.

20、如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，且，，设，.

（1）用向量，表示；

（2）若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值.

21、已知函数的最小正周期是.

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求m的取值范围.

22、如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值.

参考答案

1、答案：C

解析：集合，而， ，中元素的个数为4.故选C.

2、答案：A

解析：因为，即，则，即，故选A.

3、答案：B

解析：

4、答案：A

解析：由正弦定理，则，故外接圆的半径为1.故选A.

5、答案：B

解析：

6、答案：C

解析：由题意可知：圆柱盒子内高h的范围为.

圆柱盒子的体积，

一个小球的体积，

，

故选C.

7、答案：A

解析：因为，所以，

所以，即，则.

因为点P是圆O内部一点，所以，所以，

则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.

8、答案：D

解析：分别对，，两边取对数，得，，.

.

由基本不等式，得：

，

所以，即，所以.

又，所以.故选D.

9、答案：BCD

解析：当时，，

的虚部为-4，故A错误；，故B正确；

当时，.

，故C正确；

当时，在复平面内对应的点在第二象限，故D正确，故选BCD.

10、答案：AC

解析：若，则，即，故A正确；

若，则，

，

，

，即，故B错误；

，

（当，即时取等号），故C正确；

当时，易得，即与的夹角为直角，故D错误，故选AC.

11、答案：ACD

解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A.但无论如何都不能截得B.

12、答案：BC

解析： ，成立， ，

整理得，

解得，，故A错误；

函数的图象关于对称， ，故B正确；

， 是的整数倍，故C正确；

函数在区间上单调，，

即，

当时，由，

整理得，

故无解，故D错误.故选BC.

13、答案：

解析：，

则

14、答案：

解析：如图，作线段轴，交轴于点D，

则，所以边AB上的高为.

15、答案：

解析：设高楼高度为xm，甲站的房屋与高楼水平距离为ym，

则易得：，

，解得.

16、答案：

解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，

当A与D重合与E点时，AB无限接近于BE，

在中，，，，

由正弦定理得，即，

解得.

平移AD，当D与C重合时，此时与AB交于F，

在中，，，

由正弦定理得，即，

解得，

所以AB的取值范围为.

17、答案：(1)时，z为纯虚数

(2)

解析：（1），

由，解得，

故当时，z为纯虚数

（2）由题可得：，

，即，

m的取值范围为.

18、答案：(1)

(2)时，，所以为直角三角形

解析：（1）因为，所以.

因为，所以.

（2）因为，，且，

所以，

所以，

所以或（舍），

当时，，所以为直角三角形.

19、答案：(1)

(2)

解析：（1）当时，，则，

函数是定义域为R的奇函数，

，

当时，，

综上所述：.

（2）由（1）易知：函数在和上分别单调递增.

当时，，

函数在R上单调递增，

而

，而，

，

又函数在R上单调递增，

，解得，

故不等式的解集为.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）.

（2），，

点P在线段CM上，即点M，P，C三点共线，

存在唯一的实数t，，使得，

，

而，

，，

令.

对称轴为，故，

即的最大值为.

21、答案：(1)，

(2)

解析：（1），

由，解得，

.

由，.

得，.

，.

的单调递增区间为，.

（2）依题意得，

，

，

当时，恒成立，

只需，转化为求的最大值与最小值.

当时，为单调减函数，

，，

从而，，即，

故m的取值范围是.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1），，，，

又，在中，由正弦定理知：，

，，

周长为，，

化简，

，

，

当时，即时，周长取最大值，为.

（2）由题意，可知（2）中的面积与（1）中等底等高，即二者面积相等，

在中，，，，，

由余弦定理知：，

，

，当且仅当时取“＝”，

.

即花圃面积的最大值为.