二次函数综合题二模（四川绵阳）

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二次函数综合题二模（四川绵阳）  1．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）写出，，三点的坐标．（2）若点为内一点，求的最小值．（3）如图2，点为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，请求出的长．  2．如图，二次函数的图象与轴交于，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标． 
参考答案：1．（1），，；（2）；（3）或16或或．【分析】（1）令，可求出点，点的坐标，令，可得出点的坐标；（2）将绕点顺时针旋转得到△，连接，，当，，，四点共线，的值最小，再在直角三角形中，求出此时的最小值；（3）需要分类讨论，当，，时，分别求解．【详解】解：（1）∵与轴交于、两点，与轴交于点，∵当时，，当时，或，∴，，．（2）将绕点顺时针旋转60°得到，连接，，∴，，，，，∴和为等边三角形，∴，，当，，，四点共线，的值最小，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）需要分类讨论：①如图，当时，且点在点左侧时，过点作于点，则，∵，，∴，∴，设，则，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；当点在点右侧时，如图所示，过点作轴于点，则，，设，则，，，，，，，，解得，；②如图，当时，过点作交轴于点，由，可得，，设，则，∵，∴，解得．由和，可得直线的解析式为：，设直线为：，将代入得：，∴，∴．③如图，当时，过点作交轴于点，则，∴，∴，由，可得直线的解析式为：，设直线为：，将代入得：，∴，，∴；综上所述，的长为：或16或或．【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质，相似三角形的判定与性质，旋转，最值，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，并能进行分类讨论，并结合背景图形进行求解是解题关键．2．（1）；；（2）存在，点坐标为、或或；（3）菱形，【分析】（1）根据韦达定理即可求得、的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令，即可得到点的纵坐标，此题得解；（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点，根据已知条件以及第（1）问可得，分以下三种情况分别讨论即可：①；②；③，即可得到点的坐标；（3）如图2，点关于与点对称，过点作于，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形为菱形；根据可得∽，根据相似比即可求得、的值（用表示），即可求得点的坐标（用表示），根据，即可求得点的坐标（用表示），再根据在二次函数上，即可求得的值，进而可得点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于，，∴，，∴，∴该二次函数的解析式为，当时，，∴；（2）如图1，存在满足条件的点，∵，，∴，当点运动到点时，此时，∴存在以下3种情况：图1①当时，∵，∴，∴，∴点坐标；②，此时，∴，∴，∴点坐标；③当时，设此时的坐标为，则，解得，或，∴或，综上所述：点坐标为、或或；（3）四边形为菱形，图2如图2，点关于与点对称，过点作于，∵，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，∴，∴平行四边形为菱形，且，∵，∴，，又∵，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∵点在二次函数上，代入解得，∴．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数和直线交点的求解、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、翻折的意义、相似三角形的判定和性质等知识点，解答本题的关键是综合利用以上知识点，利用表示出点的坐标，进行求解．