动点问题中考真题（四川绵阳）

这是一份动点问题中考真题（四川绵阳），文件包含动点问题中考真题四川绵阳解析版docx、动点问题中考真题四川绵阳学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

动点问题中考真题（四川绵阳）


1．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求的值及秒时点的坐标；
（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；
（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．


2．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．



3．如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN＝4，BN＝6．
（1）求BC，CD；
（2）点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为t秒．
①将△AHI沿AC翻折得△AI，是否存在时刻t，使点恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值．



4．如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)当点恰好落在线段上时，求的长；
(3)设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．


5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．


6．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）.动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒.连接MN.
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式.



7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．



8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒．连接BM并延长交AG于N．

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；
（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．


参考答案：
1．（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，消去得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，
∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为，
则，
解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，
由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．

如图②，将代入，得，
解得，或（舍），
将代入，得，
解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．

（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得


，
当时，长度的最小值为．
此时，，解得，
所以，点的坐标是．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1  （2）（，）；    （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，

则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
3．（1）8；6  （2）①存在；  ②（4﹣）s
【分析】（1）由切线长定理得出BP＝BN＝6，DQ＝DN＝4，CP＝CQ，BD＝BN+DN＝10，设CP＝CQ＝a，由勾股定理得出BC2+CD2＝BD2，得出方程，解方程即可；
（2）①由折叠的性质得∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，证明△AIH'∽△AH'C，则AH'2＝AI×AC，证△AIH∽△AOD，求出AI＝t，得出（3t）2＝t×10，解方程即可；
②作PH⊥OH于H，交OF的延长线于P，作OM⊥AD于M，PN⊥AD于N，证出FH＝FP＝OF，HP＝OH，DN＝DM＝4，证明△OMH∽△HNP，求出HN＝OM＝3，则DH＝HN﹣DN＝3﹣4，得出AH＝AD﹣DH＝12﹣3，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN＝4，BN＝6，
∴BP＝BN＝6，DQ＝DN＝4，CP＝CQ，BD＝BN+DN＝10，
设CP＝CQ＝a，则BC＝6+a，CD＝4+a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即（6+a）2+（4+a）2＝102，
解得：a＝2，
∴BC＝6+2＝8，CD＝4+2＝6；
（2）①存在时刻t＝s，使点H′恰好落在边BC上；理由如下：
如图1所示：

由折叠的性质得：∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BCD＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴AC＝BD＝＝＝10，OA＝OD＝5，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵HI∥BD，
∴∠AHI＝∠ADO，
∴∠AH'I＝∠AHI＝∠ADO＝∠OAD＝∠ACH'，
∴△AIH'∽△AH'C，
∴＝，
∴AH'2＝AI×AC，
∵HI∥BD，
∴△AIH∽△AOD，
∴＝，即＝，
解得：AI＝t，
∴（3t）2＝t×10，
解得：t＝，
即存在时刻t＝s，使点H′恰好落在边BC上；
②作PH⊥OH于H，交OF的延长线于P，作OM⊥AD于M，PN⊥AD于N，如图2所示：
则OM∥CD∥PN，∠OMH＝∠HNP＝90°，OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝3，
∵△OFH是等边三角形，
∴OF＝FH，∠OHF＝∠HOF＝60°，
∴∠FHP＝∠HPO＝30°，
∴FH＝FP＝OF，HP＝OH，
∴DF是梯形OMNP的中位线，
∴DN＝DM＝4，
∵∠MHO+∠MOH＝∠MHO+∠NHP＝90°，
∴∠MOH＝∠NHP，
∴△OMH∽△HNP，
∴＝＝，
∴HN＝OM＝3，
∴DH＝HN﹣DN＝3﹣4，
∴AH＝AD﹣DH＝12﹣3，
∴t＝＝4﹣，
即当△OFH为正三角形时，t的值为（4﹣）s．

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
4．(1)证明见解析；(2)EH；(3).
【分析】(1)由正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可证得结论；
(2)设，连接，通过证明可得，再证明可得与t的关系式，进一步可表示的长，由得比例线段，进而求出的值，然后代入的表达式可求的值；
(3)由(2)知与t的关系式，再过点作于点，易证，于是，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；

(2)设，连接，如图，则，
∵，∴，
∴，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，
当点恰好落在线段上时，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵FG=FH，∴，
解得：，(舍去)，
∴；

(3)过点作于点，由(2)得，
∵，，∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题是四边形综合题，重点考查了正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，涉及的知识点多，难度较大，属于试卷的压轴题，第（2）小题具有相当的难度，解题的关键是灵活应用相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题．
5．(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．

【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作关于轴的对称点，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求的最小值转化为求的长度．
6．（1）y=x+4；（2）D（-，）；（3）①当0 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，连接AD交MN于点O’．想办法求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形①如图2中，当0 【详解】（1）设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为．
（2）如图，连接交于点．

由题意：四边形是菱形，，，，
，，，，
点在上，
，
解得．
时，点恰好落在边上点处，此时，．
（3）如图2中，当时，在直线右侧部分是，．

如图3中，当时，在直线右侧部分是四边形．

．
【点睛】考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
7．（1）；（2）；（3）．
【详解】试题分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，得出AN=8﹣t，由平行线证出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出 ；
②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面积得出（2＜t≤4）；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF的长，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．
试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）；
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）；
综上所述： ．
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，则EB= = =，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF= NF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF= = =．

点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
8．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当t=秒时，S的最大值为.
【详解】试题分析：（1）△ABM为等腰三角形有三种情况，①AM=BM，②AB=BM,③AM=AB，根据这三种情况确定M的位置.（2）根据同角的的余角相等可证∠ABN=∠DNH，再证∠BKN=∠NDH=135º，BK=DN，利用ASA可判定△BNK≌△NHD，进而根据全等三角形的对应边相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF与△ACG重叠部分分两种情况，①当点M在AC上时，即0 试题解析：

（1）当点M为AC中点时，有AM=BM,则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时，AB=BM,则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上且AM=2时，AM=AB,则△ABM为等腰三角形.
证明：在AB上取点K,使AK=AN，连接KN.
∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.
又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH=45º，∴∠NDH=90º+45º=135º.
∴∠BKN=180-∠AKN=135º,∴∠BKN=∠NDH.
∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90º，又BN⊥NH,即∠BNH=90º
∴∠ANB+∠DNH=180º-∠BNH=180º-90º=90º
∴∠ABN=∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA）,∴BN=NH.
①当点M在AC上时，即0 ∵AM=t,∴AF=FM=.
∴S=.
当点M在CG上时，即 ∵AD=DG,∠ADC=∠CDG,CD=CD,
∴△ACD≌△GCD（SAS）,
∴∠ACD=∠GCD=45º
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90º
∴∠G=90-∠GCD=90º-45º=45º
∴△MFG为等腰直角三角形.
∴


②在0 在 ∵
∴当t=秒时，S的最大值为.
考点：四边形、三角形、二次函数综合题.