2023年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2023年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学质检试卷（3月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的一个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年某地投资元实施基础设施及重点民生项目的建设，这个数用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗在水平位置，屋顶坡面长度米，则屋顶水平跨度的长为米(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若线段与函数的图象有交点，则点的横坐标的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  为了丰富班级的课余活动，班级预购置副羽毛球拍和个羽毛球，一家文具店刚好有促销活动：买一副球拍送个羽毛球，已知球拍每副元，羽毛球每个元．经过还价，在原有的促销基础上羽毛球拍每副降价，其他不变，最后一共要花______元．

10.  分解因式： ______ ．

11.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围为______ ．

12.  “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为______ ．

13.  如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在第二象限，与轴交于点，对称轴为直线，于点，点与点关于的中点成中心对称，以点为顶点的抛物线经过点，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
共享经济已经进入人们的生活小沈收集了自己感兴趣的个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率这四张卡片分别用它们的编号、、、表示
 

17.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画一个▱．

▱的面积为．
图、图所画图形不全等．
点、均在格点上．

18.  本小题分
列分式方程解应用题：
生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花元，求购买一个型垃圾桶、一个型垃圾桶各需多少元？

19.  本小题分
如图，在四边形中，，延长至点，使，延长至点，使，连接、．
求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
年月日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心联合发布年全国未成年人互联网使用情况研究报告注：此报告中“未成年人”指岁以下的在校学生下面是此报告中的两幅统计图：

根据图可知未成年人工作日玩手机游戏日均时长在小时及以上的约占______ ；
该报告数据显示，年全国岁以下的在校学生共亿求年我国未成年人上过网人数保留两位小数；
小文根据报告整理了“初中生上网经常从事的活动排行榜前五”，如表所示：

小文发现，这些活动所占比例之和远远超过请你解释其中的原因．

21.  本小题分
在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离单位：，单位：与甲车行驶时间单位：之间的函数关系如图请根据所给图象解答下列问题：
甲车的行驶速度为______ ，乙车的行驶速度为______ ；
当时，求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
当乙车出发______ 小时，两车相遇．

22.  本小题分
【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：

请用演绎推理写出证明过程．
【结论应用】
如图在四边形中，，点是对角线的中点，是中点，是中点，与相交于点求证：；

【拓展延伸】
如图，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为边中点，连结则运动过程中的最大值为______ ．

23.  本小题分
在中，，，，平分，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，点、点同时停止运动设点的运动时间为秒，与重叠部分面积为．
______ ， ______ ．
用含的代数式表示点到的距离．
当与的一边平行时，求的值．
当点不与点重合时，作点关于直线的对称点，当直线经过一边中点时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数的最低点纵坐标为，点、均在这个抛物线上，点、的横坐标分别为、．
求抛物线所对应的函数表达式；
连结，当轴时，求线段的长；
将此抛物线上、两点之间包括、两点的部分记为图象．
当图象的最低点到两坐标轴距离之和为时，求的值；
过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点、点，当线段与图象有交点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在，，，四个数中，最小的一个数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
【解答】
解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是中的图形：

故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
在数轴上表示为：

故选：．
先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．
此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
则，
可得，
则，
，
故，
则．
故选：．
直接利用等腰三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出的长求出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理可求得的度数，由切线的性质可知，则可中求得．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得和的度数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
证明≌即可判断，B正确，再根据同角的补角相等，证明即可．
【解答】
解：由作图可知，，，
，
≌，
，，

，
，
，
故A，，C正确，
没有办法证明，故D错误；
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意设，则，
把代入得，，
把代入得，，
的最小值为，
令，整理得，
解得或，
，
，
故选：．
由题意设，则，把代入得，，把代入得，，线段与函数的图象有交点，得到，整理得，解得或，由，即可得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转根据题意得出关于的不等式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，副羽毛球拍花元，
个羽毛球中送个，买个，
而买个羽毛球要花元，
所以副羽毛球拍和个羽毛球一共要花元．
故答案为：．
副羽毛球拍花元，由于送个羽毛球，则买个羽毛球要花元，然后把两者相加即可．
本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题中要注意羽毛球的实际付款数．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，，，，
，
解得，
故答案为：．
若一元二次方程有两相等根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的取值．
本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故答案为：．
如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，

，
，
阴影部分的面积之和为：





．
故答案为：．
根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设抛物线的顶点式为，则，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
轴，
，
点为的中点，
，
点与点关于的中点成中心对称，
点为的中点，
设，
，
解得，
，
以点为顶点的抛物线解析式为，
把代入得，
，
即．
设抛物线的顶点式为，根据二次函数的性质得到，抛物线的对称轴为直线，再表示出，，则利用线段中点坐标公式得到，接着根据中心对称的性质和线段中点坐标公式可表示出，利用顶点式写出以点为顶点的抛物线解析式为，然后把代入得和的关系式，从而得到的值．
本题考查了二次函数的性质：抛物线的顶点式为，顶点坐标是，对称轴是直线也考查了对称的性质和线段中点坐标公式．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘法运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率． 

【解析】根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，根据概率公式求解可得．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：如下图：

图：，
以为边的正方形的面积为，
正方形即为所求；
图：以为一边，以高作平行四边形，
则四边形的面积为：，
平行四边形即为所求． 

【解析】根据面积确定边长，再分别作底和高都是根号的正方形和平行四边形．
本题考查了作图的应用和设计，掌握平行四边形的面积公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设购买一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：购买一个型垃圾桶需元，一个型垃圾桶需元． 

【解析】设一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，根据购买型垃圾桶数量是购买品牌足球数量的倍列出方程解答即可．
此题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，得，，再证≌，得，则，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：未成年人工作日玩手机游戏日均时长在小时及以上的约占，
故答案为：；
亿，
答：年我国未成年人上过网人数大约为亿人；
收集数据时，对于调查项目没有要求单项选择，所以，各个项目数据有重叠，各数据所占的百分比之和就会超过．
根据题意列式计算即可得到结论；
根据题意列式计算即可；
根据题意说明即可．
本题考查了折线统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
 

21.【答案】    

【解析】解：甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，
甲车行驶速度是，乙车行驶速度是；
故答案为，．
当时，
；
当时，设，
图象过点，，

，
，
；
当时，
，
图象过点，
设，
图象过点，，
，
，
．
；
设乙车出发小时，两车相遇，由题意得：
，
解得：．
乙车出发小时，两车相遇．
故答案为：．
根据速度路程时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
根据待定系数法分类讨论求解乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
设乙车出发小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程乙车行驶的路程列方程求解即可；
本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定系数法求解一次函数的关系式是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】【教材呈现】证明：点、分别是、的中点，
，，
，
，
∽，
，，
且．
【结论应用】证明：、、分别是、、的中点，
，，
，
，
，
．
【拓展延伸】解：如图，取的中点，连结、，
，为的中点，
，
四边形是正方形，点、分别在边、上，
，
，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
【教材呈现】由，，得，因为，所以∽，则，，即可证明且；
【结论应用】由三角形的中位线定理得，，而，则，所以；
【拓展延伸】取的中点，连结、，由三角形的中位线定理得，由正方形的性质得，则，根据两点之间线段最短得，所以，则的最大值为，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的中位线定理的证明及应用、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确理解和运用三角形的中位线定理是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：如图中，过点作于点于点．

，，，
，
，，平分，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
设，
，
，
，
，
，
，．
．
故答案为：，；
如图中，过点作于点．
，，
，
，
，
，
点到的距离为；
如图中，当时，

则有，
，
．
如图中，当时，，此时，，

，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
由可知，当时，垂直平分线段，此时直线经过，的中点．
如图中，当直线经过的中点时，过点作于点．

，
，
，
由对称的性质可知，
，
∽，
，
，
解得或，
经检验是分式方程的解，且符合题意．
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，过点作于点于点证明四边形是正方形，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解可得结论；
如图中，过点作于点利用等腰直角三角形的性质求解即可；
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，发布期间为；
由可知，当时，垂直平分线段，此时直线经过，的中点．如图中，当直线经过的中点时，过点作于点利用相似三角形的性质，构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

24.【答案】解：，
该抛物线的顶点坐标为，
由题意得：，
解得：，
该抛物线所对应的函数表达式为；
，
该抛物线的对称轴为直线，
轴，
点与点关于直线对称，
，
解得：，
点、的横坐标分别为、，
，
故线段的长为；
根据题意：点、的横坐标分别为、，抛物线的对称轴为直线，
令，得，
解得：，
即抛物线与轴的交点坐标为，，
令，得，
解得：，
当，即时，点、均在轴左侧，点在第三象限抛物线上，且为最低点，如图，

，
解得：或不符合题意，舍去；
当，即时，点、均在第二象限抛物线上，且为最低点，如图，

，
解得：或不符合题意，舍去；
综上所述，的值为或；
当线段与图象有交点时，
则或，
解得：或，
的取值范围为或． 

【解析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为，根据题意列方程求解即可求得答案；
由轴，可知点与点关于直线对称，列方程求解即可求得答案；
分两种情况：当，即时，当，即时，根据题意建立方程求解即可得出答案；
根据题意列出不等式组求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．