2021北京八中高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京八中高二（上）期末数学（教师版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京八中高二（上）期末数    学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知向量，，且，则实数的值等于　　A．6 B． C． D．6或2．（5分）设，则“”是“直线与直线”平行的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件3．（5分）已知直线，，平面，，给出下列命题：①若，，且，则；②若，，且，则；③若，，且，则；④若，，且，则．其中正确的命题是　　A．②③ B．①③ C．①④ D．③④4．（5分）已知为双曲线的左焦点，，为右支上的点，若，点在直线上，则的周长为　　A．12 B．28 C．44 D．605．（5分）已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是　　A． B． C． D．6．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是　　A．72 B．120 C．144 D．1687．（5分）已知圆，直线．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为　　A．2 B．3 C．4 D．68．（5分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为，则　　A． B． C． D．9．（5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，若，，则的值可以是　　A．2020 B．2021 C．2022 D．202310．（5分）如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则　　A．在点的运动过程中，存在 B．在点的运动过程中，不存在 C．四面体的体积为定值 D．四面体的体积不为定值二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）的展开式中第 　　项的二项式系数最大，各项的系数和为 　　．12．（5分）抛物线的焦点坐标是　　．13．（5分）双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为 　　．14．（5分）直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则　　．15．（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 　　．（用“”连接）16．（5分）平面内与两定点，，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；③当时，曲线的渐近线方程为；④当曲线的焦点坐标分别为和时，的范围是．其中正确的结论序号为　　．三、解答题（本大题共5小题，每小题14分，共70分）17．（14分）已知抛物线，焦点到准线的距离为2，直线过轴正半轴上定点且交抛物线于，两点，为坐标原点，（Ⅰ）求抛物线方程（Ⅱ）若，求的范围．18．（14分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．19．（14分）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在试求出点的位置，若没有请说明理由．20．（14分）随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为，，，，，．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量（单位：人次）与使用量（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率，当时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．21．（14分）已知椭圆的离心率为，左顶点与右焦点之间的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交轴于点，过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，，连接，并延长分别与直线交于两点，．若，求点的坐标．
参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：向量，，且，，解得．故选：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①若，则两条直线方程为与直线，则两直线重合，即充分性不成立，②若两直线平行，则，即，或，检验：当时，则两条直线方程为与直线，则两直线平行，当时，两直线重合，，即必要性不成立，是直线与直线平行的既不充分也不必要条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件是解决本题的关键．3．【分析】①利用面面垂直的判定定理即可判断出；②利用线线、线面平行的判定与性质即可得出；③利用线面平行于垂直的判定与性质定理即可得出；④利用面面垂直的判定定理即可得出．【解答】解：①若，，且，由面面垂直的判定定理可得，因此正确；②若，，且，则或相交，因此不正确；③若，，且，则也可能相交，因此不正确；④若，，且，利用面面垂直的判定定理可得，因此正确．综上可知：只有①④正确．故选：．【点评】本题考查了线线、线面与面面平行与垂直的判定与性质定理，属于基础题．4．【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值 “解决．求出周长即可．【解答】解：由双曲线的方程可得，，则，所以点恰好为右焦点，双曲线图象如图：，，而，，周长为，故选：．【点评】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键．考查学生的转化能能力，属于中档题．5．【分析】由题意可得垂直于轴，，为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得垂直于轴，，为的中点，可得，由可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得舍去），故选：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分3种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须都安排节目，分3种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有种情况，相声类节目放在2端，有2种情况，此时有4种安排方法；③将中间2个空位安排3个节目，将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，此时有种安排方法，则中间空位的安排方法有种，则同类节目不相邻的排法种数是种，故选：．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．7．【分析】先求出圆心到直线的距离，由圆上恰有三个点到直线的距离都为1，得到圆心到直线的距离，由此能出的值．【解答】解：圆心，则点到直线的距离，又因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，即，故选：．【点评】本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线距离公式的合理运用．8．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件包含的基本事件数，与在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件记两次的点数均为奇数，包含的基本事件数是，，，，，，，，共9个基本事件，在发生的条件下，事件两次的点数之和为，包含的基本事件数是，，，共2个基本事件，故选：．【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．9．【分析】根据已知中和对模同余的定义，结合二项式定理求出的个位数值，结合，比照四个答案中的数值，即可得到答案．【解答】解：，因为个位是3，个位是9，个位是7，个位是1，个位是3，所以个位是1，若和被除得余数相同，则的个位也是1，故选：．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，也考查了推理与运算求解能力，是基础题．10．【分析】由异面直线的判断方法，可判断；运用空间向量法，结合向量数量积的坐标表示，计算可判断；由棱锥的体积公式和线面距离与点面距离的关系，可判断，．【解答】解：连接，由正方体的对角面为矩形可得，取的中点，连接，可得与相交，且，则与异面，故错误；以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，设正方体的棱长为2，可得，2，，，0，，，2，，，0，，设，可得，0，，2，，，，则，2，，，，，由，可得，可得在点的运动过程中，存在，故错误；四面体的体积为，为到平面的距离），连接，交于，连接，可得，平面，平面，可得平面，则到平面的距离为，显然为定值，的面积也为定值，故四面体的体积为定值，故正确；四面体的体积为，为到平面的距离），由，平面，平面，可得平面，到平面的距离为，显然为定值，△的面积也为定值，故四面体的体积为定值，故错误．故选：．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查四面体的体积的求法，注意运用转化思想和空间向量法，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．【分析】用通项公式求出中间的项即得二项式系数最大的项，【解答】解：展开式共有9项，二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，令可得各项的系数和为：，故答案为：5，64．【点评】本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于基础题．12．【分析】先化简为标准方程，进而可得到的值，即可确定答案．【解答】解：由题意可知焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．13．【分析】利用双曲线的一条渐近线方程为，可得，焦点到渐近线的距离为2得到，进而求出，即可求出双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线的焦点到渐近线的距离为2，即，又因为它的一条渐近线方程为，所以，则，所以，即双曲线的实轴长为2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，所以中档题．14．【分析】由题意可得，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即，由此求得的值．【解答】解：由题意可得，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，，，故答案为：2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到是解题的关键，属于基础题．15．【分析】第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．【解答】解：根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，综上可知，故答案为：，【点评】本题考查频率分布直方图，考查三组数据的标准差，考查标准差的意义，是比较几组数据的波动大小的量，考查读图，本题是一个基础题．16．【分析】设动点为，求出直线、的斜率，并且求出它们的积，即可求出点轨迹方程，根据题目所给条件逐一核对四个命题得答案．【解答】解：设动点为，当时，由条件可得，即，又，的坐标满足．当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆，故①正确；当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆，，离心率为，故②错误；当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故③正确；若时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，由，可知焦点坐标分别为和；当时，是焦点在轴上的双曲线，方程为，由，可知焦点坐标分别为和，当曲线的焦点坐标分别为和时，的范围是，，，故④错误．正确结论的序号为①③．故答案为：①③．【点评】本题考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，每小题14分，共70分）17．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出抛物线的方程，焦点到准线的距离等于，即可求出，（Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，利用韦达定理，结合向量的运算即可求出的范围．【解答】解：（Ⅰ）抛物线，焦点到准线的距离为2，，抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，由，消可得，△，即，，，，，解得，，，故的范围是，．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．18．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为，求出对应的概率，即可求的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）可能取值有，10，20，100．则，，，故分布列为：1020100（2）由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是，则至少有一盘出现音乐的概率．（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．19．【分析】（1）取中点，连接，，证明是平行四边形，得，然后可得线面平行；（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；（3）假设棱上是否存在点满足题意，设，，，由直线和平面所成角的正弦值等于与平面的法向量的余弦的绝对值相等计算，若有解，说明存在，无解说明不存在．【解答】（1）证明：取中点，连接，，因为，是，中点，所以，，而，，所以，，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：由已知，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，在四边形中，，取中点，连接，则，所以，且，所以，1，，，0，，，，，，0，，，，，，1，，，，，设平面的一个法向量为，则，取得，设平面的一个法向量法，则，取，得，，设二面角的大小为，则． （3）解：假设棱上是否存在点满足题意，设，，，，，，，，平面的一个法向量为，直线和平面所成角的正弦值为，则的余弦的绝对值等于，所以，解得（负值舍去）．所以存在点满足题意，且．【点评】本题主要考查线面平行的证明，二面角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．20．【分析】计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；根据样本是否具有普遍性进行判断．【解答】解：，，，，，．款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为．的可能取值有2，3，4，且，，，的分布列为：234．不能认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，样本估计总体思想，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）根据已知条件列有关、、的方程组，求出、、的值，从而得出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点，、，，求出点的坐标，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，将直线和直线的方程表示出来，分别与直线的方程联立，求出点、的坐标，将条件转化为，于是得到，结合向量的数量积运算并代入韦达定理，通过计算求出的值，从而得出点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知且，解得  ，．所以．所以椭圆的方程是．（Ⅱ）设，的坐标分别为，，，，直线的方程为，易知点，将直线的方程与椭圆方程联立，消去，得．所以①，②．设，两点的坐标分别为，，由，，三点共线，得：，从而；由，，三点共线，得，从而；因为，所以．所以，即，整理得．又，，所以．将①，②代入，整理得．解之，得或（舍．所以点的坐标为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与转化能力，属于难题．