2021北京十一学校高二（上）期末数学（教师版）

2021北京十一学校高二（上）期末

数    学

一、选择题（共10小题，其中1-5题，每题4分，6-10题，每题5分，共45分）

1．（4分）若，则　　

A．1 B．8 C．9 D．10

2．（4分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有　　

A．144个 B．120个 C．96个 D．72个

3．（4分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　　

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

4．（4分）如图为2015年6月份北京空气质量指数历史数据的折线图，以下结论不正确的是　　

指数数值与等级水平表：

A．6月份空气质量为优的天数为8天 

B．6月份连续2天出现中度污染的概率为 

C．6月份北京空气质量指数历史数据的众数为160 

D．北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好

5．（4分）若，则，，已知，，则　　

A．0.4077 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0453

6．（5分）为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是　　

A．有的人认为该栏目优秀 

B．有的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系 

C．有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 

D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

7．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为，则不正确命题的是　　

A． 

B． 

C．展开式中常数项为1200 

D．展开式中含的项为

9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为　　

A． B． C． D．

10．（5分）如图，在正方体，中，在线段上运动，则下列结论中正确的个数有　　

（1）三棱锥的体积为定值；

（2）；

（3）与所成的角的范围为，．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（共10小题，其中1-5题，每题4分，6-10题，每题5分，共45分）

11．（4分）用最小二乘法得到一组数据，，2，3，4，的线性回归方程为，若，则　　．

12．（4分）某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，物理不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为 　　种．

13．（4分）设随机变量的分布列为，2，3，，则　 　．

14．（4分）设随机变量，若，则　　；

15．（4分）已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则　 　．

16．（5分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为　　．

17．（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则　　．

18．（5分）点，，在球表面上，，，，若球心到截面的距离为，则该球的体积为 　　．

19．（5分）平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是 　　（填所有符合条件的序号）．

①直线；②直线；③直线；④直线．

20．（5分）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是　　．（用数字表示）

三、解答题（共3小题，每题20分，共60分）

21．（20分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为．

（ⅰ）求三棱锥的体积；

（ⅱ）求二面角的余弦值．

22．（20分）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；

（Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；

（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．

23．（20分）国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查．派出10人的调查组．先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）．他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：

请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；

（Ⅱ）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；

（Ⅲ）从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为，求的分布列和期望．

参考答案

一、选择题（共10小题，其中1-5题，每题4分，6-10题，每题5分，共45分）

1．【分析】利用排列数的计算公式即可得出．

【解答】解：，，

化为：，

则．

故选：．

【点评】本题考查了排列数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，

共有个．

故选：．

【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．

3．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．

【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足，

该同学通过测试的概率为．

故选：．

【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．

4．【分析】对于月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，即可判断出真假；

对于月份连续2天的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，即可得出概率；

对于月份北京空气质量指数历史数据的众数为42，即可判断出真假；

对于．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，即可判断出真假．

【解答】解：月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，天数为8天，因此正确；

月份连续2天的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，所以概率为，正确；

月份北京空气质量指数历史数据的众数为42，因此错误；

．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，正确．

故选：．

【点评】本题考查了频率分布折线图、概率的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合与原则求解．

【解答】解：若，则正态分布曲线的对称轴为，

又，，

．

故选：．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

6．【分析】利用独立性检验的基本原理即可得到答案．

【解答】解：表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，

有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．

故选：．

【点评】本题考查独立性检验的基本运用，准确理解判定方法是截距本题的关键，是基础题．

7．【分析】由已知只需令代入即可求解．

【解答】解：由题意只需令代入可得：

，

又，所以所求的原式为，

故选：．

【点评】本题考差了二项式定理的应用，涉及到赋值法，属于基础题．

8．【分析】根据只有第五项的二项式系数最大，说明为偶数，且，求出，然后利用赋值法以及展开式的通项逐项判断即可．

【解答】解：由已知得，解得，故正确；

二项式为，令得所有项系数的和为，结合，故，解得，故正确；

结合可知二项式为，展开式的常数项为，故错误；

含的项为，故正确．

故选：．

【点评】本题考查二项式定理的性质以及通项的应用，属于中档题．

9．【分析】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，共有种，向上攀登共需要3步，向左向前共需要5步，不连续向上攀登，向上攀登的3步，要进行插空，由此能求出其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率．

【解答】解：最近的行走路线就是不走回头路，不重复，共有种，

向上攀登共需要3步，向左向前共需要5步，

不连续向上攀登，向上攀登的3步，要进行插空，共有种，

其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为：

．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】（1）由可进行判断；

（2）证得平面，即可进行判断；

（3）由，知与所成的角即为所求，再在等边中进行分析即可．

【解答】解：（1）由正方体的性质知，，

平面，平面，

平面，

又点在线段上运动，

，是定值，即（1）正确；

（2）由三垂线定理可知，，，

，、平面，

平面，

平面，

，即（2）正确；

（3），

与所成的角即为与所成的角，

在等边中，与所成的角的取值范围为，，即（3）错误．

正确的有（1）（2）．

故选：．

【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、异面直线的夹角等，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及利用平移的思想找异面直线的夹角是解题的关键，考查学生的转化思想、空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．

二、填空题（共10小题，其中1-5题，每题4分，6-10题，每题5分，共45分）

11．【分析】由已知求得，把样本点的中心的坐标代入线性回归方程求得，即可得到．

【解答】解：，，

把代入，得，

则．

故答案为：65．

【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．

12．【分析】根据生物课排的位置进行分类，再利用乘法原理计算出结果．

【解答】解：当生物排在第四节课时，其它任意排，故有种，

当生物不排在第四节课时，先排生物有4种排法，再排物理，有4种排法，其它任意排，故有种，

故共有种，

故答案为：504．

【点评】本题主要考查排列、组合中的两大原理的应用，属于基础题．

13．【分析】利用概率分布列求出，然后求解即可．

【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，，

可得：，解得，

．

故答案为：．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，概率的求法，考查计算能力．

14．【分析】推导出．从而，由此能求出．

【解答】解：随机变量，，

．

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得的值

【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，

由题意得，

或1（舍．

故答案为：8．

【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

16．【分析】由题意可得，第4个和第五个问题回答都正确，第3个问题回答不正确，前2个问题至少有一个回答错误，再根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．

【解答】解：由题意可得，第4个和第五个问题回答都正确，第3个问题回答不正确，

前2个问题至少有一个回答错误．

该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为，

故答案为：0.04608．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．

17．【分析】根据带2个或3个油漆面小正方体个数解决此题．

【解答】解：带2个和3个油漆面小正方体个数分别为36和8个，

．

故答案为：．

【点评】本题考查古典概型，考查数学运算能力，属于基础题．

18．【分析】由题意可知为小圆的直径，球心到截面的距离为，就是到的中点的距离，求出球的半径，即可求出球的体积．

【解答】解：、、是球面上三点，且，，，

则三角形 是直角三角形，为小圆的直径，等于，

球心到截面的距离为，就是到的中点的距离，

球的半径为．

球的体积为．

故答案为：．

【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．

19．【分析】若，则可能垂直，可判断①；若，为超过，故存在，可判断②，，始终为锐角可判断③④．

【解答】解：对于①，若，当平面平面时，平面，则此时，故①成立；

对于②若，则在翻折的过程中，为超过，故存在，

，

，故②成立；

对于③，在中，，

为锐角，

即为锐角，

故直线不可能和直线垂直，故③不成立；

对于④，，

△中，，

始终为锐角，

故直线不可能和直线垂直，故④不成立．

故答案为：①②．

【点评】本题考查了线线垂直的判断，解题的关键是找到特殊情况，以及根据，始终为锐角进行判断，属于中档题．

20．【分析】根据题意，将10个气球进行编号，分析可得原问题可以转化为将编号为的10个小球排列，其中2、3号、4、5、6号，7、8、9、10号小球必须是从左到右的顺序，按小球从左到右的编号顺序击破小球即可，由倍分法计算可得答案．

【解答】解：根据题意，如图，将10个气球进行编号，

原问题可以转化为将编号为的10个小球排列，其中2、3号、4、5、6号，7、8、9、10号小球必须是从左到右的顺序，

按小球从左到右的编号顺序击破小球即可，

则有种排列方法，

则有12600种不同打法，

故答案为：12600．

【点评】本题考查排列、组合的实际应用，关键是将原问题转化，利用排列数公式分析．

三、解答题（共3小题，每题20分，共60分）

21．【分析】（Ⅰ）推导出．．从而平面．由此能证明平面平面．

（Ⅱ）（ⅰ）由平面，得即为直线与平面所成角．，由此能求出三棱锥的体积．

（ⅱ）取的中点，连结，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由此能求出二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：平面，平面，．

，，，

，．

，平面，平面，

平面．平面，

平面平面．

（Ⅱ）（ⅰ）解：由（Ⅰ）易知平面，即为直线与平面所成角．

，，．

三棱锥的体积．

（ⅱ）解：取的中点，连结，以点为坐标原点，

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，，，，

，，．

设为平面的法向量，

则，，得，取，，得，

设平面的法向量，

则，，取，，，得．

．

又所求二面角为锐角，二面角的余弦值为．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

22．【分析】（Ⅰ）先根据概率和为1计算，再计算平均数和中位数；

（Ⅱ）先求出5人中第1小组和第2小组的人数，再根据超几何分布的概率公式计算概率；

（Ⅲ）根据二项分布的概率公式计算的取值对应的概率，得出分布列和数学期望．

【解答】解：由小矩形面积和等于1可得：，

解得，

故这200人的平均年龄为，

设年龄的中位数为，由频率分布直方图可知，

故，解得．

（Ⅱ）第1组总人数为，第2组总人数为，

故用分层抽样后，第1组抽取2人，第2组抽取3人，

故从这5人中抽取3人后，恰好有2人的年龄在第2组中的概率为．

（Ⅲ）由题意可知服从二项分布，

故，，

，．

的分布列为：

．

【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．

23．【分析】（Ⅰ）由茎叶图求出甲、乙两个城市得分的平均值、方差，由此能求出乙城市更应该入围“国家文明城市”．

（Ⅱ）由茎叶图推导出分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个，设事件 “甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件 “甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，在已知有大于80分的条件下，抽到乙城市的分数都小于80分的概率为：，由此能求出结果．

（Ⅲ）由题可知所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得：

甲城市得分的平均值为：

，

乙城市得分的平均值为：

，

，

，

，，

乙城市更应该入围“国家文明城市”．

（Ⅱ）由茎叶图得：

分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个，

设事件 “甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，

事件 “甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，

则，

（A），

在已知有大于80分的条件下，抽到乙城市的分数都小于80分的概率为：

．

（Ⅲ）由题可知所有可能取值为0，1，2，

，

，

．

的分布列为：

．

【点评】本题考查分布列的判断与求法，考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查茎叶图、条件概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．