2021北京八中高一（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京八中高一（上）期末数学（教师版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京八中高一（上）期末数    学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1．已知集合，0，1，，，则　　A．，0， B．， C．， D．，1，2．化简等于　　A． B． C． D．3．已知角的终边经过点，那么　　A． B． C． D．4．，，，则与的夹角　　A． B． C． D．5．以下函数既是偶函数又在上单调递减的是　　A． B． C． D．6．，两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若，两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是　　A．，比成绩稳定 B．，比成绩稳定 C．，比成绩稳定 D．，比成绩稳定7．函数的图象是　　A．    B．    C．    D．8．设是函数的零点，则所在的区间为　　A． B． C． D．9．已知函数的定义域是，满足（2）且对于定义域内任意，都有成立，那么（2）（4）的值为　　A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的横线上）11．已知幂函数为常数）过点，则　 　．12．设，向量，，若，则等于　　．13．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下： 医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04派出的医生至少2人的概率　 　．14．已知点、分别在函数和的图象上，连接，两点，当平行于轴时，、两点间的距离为　 　．15．如图，向量，若，则　　．16．已知数集，，，（其中，，2，，，，若对任意的，2，，都存在，，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量，与向量，；②向量，与向量，；③向量，与向量，，则称具有性质，例如，2，具有性质．（1）若，3，具有性质，则的取值为　　（2）若数集，3，，具有性质，则的最大值与最小值之积为　　．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算：（1）两人都未解决的概率；（2）问题得到解决的概率．18．（12分）某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：餐厅分数频数分布表分数区间频数，2，3，5，15，40，35（Ⅰ）在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对餐厅评分在，范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在，范围内的概率；（Ⅲ）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19．（12分）平面内给定三个向量．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求满足的实数和；（Ⅲ）若，求实数．20．（12分）已知函数为奇函数．（1）求函数的解析式；（2）若，求的范围；（3）求函数的值域．21．（12分）已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数．使得（1）成立．（Ⅰ）判断幂函数是否属于集合，并说明理由；（Ⅱ）设，，若，求的取值范围．22．（12分）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何，（其中为函数的定义域），均有成立．（Ⅰ）已知函数，判断与集合的关系，并说明理由；（Ⅱ）是否存在实数，使得，，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于实数，，用表示集合中定义域为区间，的函数的集合，定义：已知是定义在，上的函数，如果存在常数，对区间，的任意划分：，和式恒成立，则称为，上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”， 的最小值称为的“绝对差上确界”，符号．求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”．
参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1．【分析】解求出中的不等式，找出与的交集即可．【解答】解：因为，0，1，，，所以，0，，故选：．【点评】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．2．【分析】直接利用向量的加减法求法即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查斜率加减法的计算，是基础题．3．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，可得与的夹角．【解答】解：，，，则设与的夹角为，，，由，求得，，故选：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．5．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于，函数在递增，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数既是偶函数又在上单调递减，符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．6．【分析】根据茎叶图中数据，色彩、的成绩，分别计算二人的平均分，再根据两人的成绩分布判断方差大小．【解答】解：由茎叶图知，的成绩为81、82、85、94、118，平均成绩为92；的成绩为88、98、97、104、103，平均成绩为98；从茎叶图上可以看出的数据比的数据集中，比成绩稳定，故选：．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数和方差的应用问题，是基础题．7．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由得，即函数的定义域为，排除，，，故选：．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．8．【分析】由函数的解析式可得（2），（3），再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．【解答】解：是函数的零点，（2），（3），函数的零点所在的区间为，故选：．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．9．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），从而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故选：．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出（4），是解题的关键，是基础题．10．【分析】由得，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由得，作出函数和的图象如图：当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，，故选：．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的横线上）11．【分析】使用待定系数法求出的解析式．【解答】解：幂函数为常数）过点，，解得．．故答案为．【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，是基础题．12．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则有，解可得：，故答案为：．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标表示，属于基础题．13．【分析】利用对立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：设派出的医生至少2人事件，则（A）．故答案为：0.74【点评】熟练掌握对立事件的概率计算公式是解题的关键．14．【分析】根据题意，由求出；由求出，作差等于【解答】解：根据题意，，；又，；、两点之间的距离为，故答案为：【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应根据题意，转化条件，从而求出解答，是基础题．15．【分析】先将中的所有向量用，，表示，从而求出，的值，即可求出所求．【解答】解：，，即，，，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，解题的关键是将所有向量用，，表示，属于基础题．16．【分析】（1）由题意可得：与；与；与中恰有一组共线，分别求出相应的的值即可；（2）由（1）知，可得，，9，再利用新定义验证，得到，3，，具有性质时的，，，，9，27，同理分别得到，3，，以及，3，9，具有性质时的的值，即可得到的最大值与最小值之积．【解答】解：（1）由题意可得：与；与；与中恰有一组共线，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，故的取值为：，，9；（2）由（1）的求解方法可得，，9，当时，由数集，3，，具有性质，①若与；与，；与中恰有一组共线，可得，；②若与，；与，；，与中恰有一组共线，可得，；③若与，；与，；，与中恰有一组共线，可得，27；故，3，，具有性质可得，，，，9，27；同理当时，，3，，具有性质可得，，，，，9；同理当时，可得，，，，，27，81；则的最大值为90，最小值为，故的最大值与最小值之积为．故答案为：（1），，9；（2）．【点评】本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）两人都试图独立地在半小时内解决它，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出两人都未解决的概率．（2）问题得到解决的对立事件是两人都未解决，由此利用对立事件概率计算公式能求出问题得到解决的概率．【解答】解：（1）有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人都试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率．（2）问题得到解决的对立事件是两人都未解决，问题得到解决的概率．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．【分析】（Ⅰ）由餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；（Ⅱ）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由餐厅分数的频率分布直方图，得：对餐厅评分低于30分的频率为，所以，对餐厅评分低于30的人数为；（Ⅱ）对餐厅评分在，范围内的有2人，设为、；对餐厅评分在，范围内的有3人，设为、、；从这5人中随机选出2人的选法为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种．其中，恰有1人评分在，范围内的选法为：，，，，，，，，，，，共6种；故2人中恰有1人评分在，范围内的概率为；（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，餐厅评分低于30的人数为20，所以，餐厅得分低于30分的人数所占的比例为；餐厅评分低于30的人数为，所以，餐厅得分低于30分的人数所占的比例为；所以会选择餐厅用餐．【点评】本题考查了频率分布表与直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合题．19．【分析】（Ⅰ）根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，必有，求出、的值，即可得答案；（Ⅲ）根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的计算公式可得，求出的值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，向量．则，故；（Ⅱ）若，即，，，，则有，解可得，故，；（Ⅲ）根据题意，，，若，则，解可得，故．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题．20．【分析】（1）可看出的定义域为，即在原点有定义，并且是奇函数，从而得出，从而得出；（2）由即可得出，从而求出的范围；（3）分离常数得出，根据即可求出的范围，即得出的值域．【解答】解：（1）的定义域为；在原点有定义，且是奇函数；；；；（2）由得：；；（3）；；，；；的值域为．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用．21．【分析】（Ⅰ）令（1），解得，判断是否属于集合，即可得出结论．（Ⅱ）根据题意可得，解得，则（1）在上有解，即，令，则，问题转化为，在上有解，进而可得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），理由如下：令（1），则，即，解得，，均满足定义域，所以当时，．（Ⅱ）因为，所以，解得，由题知，（1）在上有解，所以，所以，令，则，所以，即，所以，，从而，原问题等价于或，所以或，又在上恒成立，所以，所以．所以的取值范围为，．【点评】本题考查函数的性质，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过任取，，，证明成立，说明属于集合．（Ⅱ）若，则有，然后可求出当，时，．（Ⅲ）直接利用新定义加以证明，并求出的“绝对差上确界”的值．【解答】解：（Ⅰ）设，，，则，因为，，所以，所以，所以函数属于集合．（Ⅱ）若函数，，属于集合，则当，，时，恒成立，即，对，，恒成立，所以，对，，恒成立，因为，，，所以，所以，即，所以的取值范围为，．（Ⅲ）取，，则对区间，的任意划分，和式，所以集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界” ．【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题．