2021届安徽省蚌埠二中高三上学期理科数学周测（第10周）

蚌埠二中2020-2021学年第一学期周测（第10周）

高三数学试题（理）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．是虚数单位，若是纯虚数，则实数 （ ）

   A． B． C． D．

2．已知集合，，若，则的子集个数为（    ）

   A．2 B．4 C．6 D．8

3．已知命题：“对任意，都有”，则命题的否定是（    ）

   A．对任意，都有 B．存在，使得

   C．对任意，都有 D．存在，使得

4．已知，则常数的值为（　　）

   A． B． C． D．

5．是上的增函数，则的取值范围为（    ）

   A． B． C． D．

6．若，则的值是（　　）

   A． B． C． D．

7．在中，角，，所对的边分别是，，，设为的面积，满足，     且角是角和角的等差中项，则的形状为（    ）

   A．不确定 B．直角三角形

   C．钝角三角形 D．等边三角形

8．设公差不为的等差数列的前项和为.若，则在、、、这四个值中，恒等于的个数是（    ）

   A． B． C． D．

9．，，且，则下列结论正确的是（     ）

   A． B． C． D．

10．已知函数的图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆   上，则的最小正周期为

   A．3 B．4 C．2 D．1

11．在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为 （    ）

   A．17 B．10 C． D．

12．存在两个正实数x，y，使得等式，其中e为自然对数的底数，则a 的范围为（    ）

   A． B． C． D．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．已知向量＝（1，﹣2），＝（3，﹣3），＝（1，t），若向量与+共线，则实数t＝_____．

14．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，若函数在是减函数，则的最大值是______.

15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则    的周长取值范围为_______

16．已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________

三、解答题：（每小题10分，共40分）

17．在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求边上的高.

18．已知数列满足，，，2，.

  求数列的通项；

  设，求．

19．已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的  取值范围.

20．已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明:；

（3）试比较与 ，并证明你的结论．

四、课后作业：

21．如图，在菱形中，与相交于点，平面，  ．

（I）求证：平面；

（II）当直线与平面所成的角为时，求二面角的余弦角．

22．已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.

蚌埠二中2020-2021学年第一学期周测（第10周）

参考答案

1．B  2．D  3．B  4．A  5．B  6．A  7．D  8．C  9．D  10．B  11．D  12．D

13．  14．  15．  16．

17．（1）；（2）

【详解】

（1）由题意，由正弦定理得.

因为，所以，所以，展开得，整理得.

因为，所以，故，即.

（2）由余弦定理得，则，得，故，

故的面积为.

设边上的高为，有，故，

所以边上的高为.

18．； .

【详解】

解：，，2，，

，，3，

得，，

当n为奇数，，当n为偶数，

所以；

，

．

19．（1）（2）

解析：（1）由，得，解得.

（2）当时，，

所以在上单调递减.

函数在区间上的最大值与最小值分别为.

即，对任意成立.

因为，所以函数在区间上单调递增，

时，有最小值，由，得，故的取值范围为.

20．【详解】

（1）函数的定义域为：，

①当时，，所以在上单调递增   

②当时，令，解得 ．

当时，，所以， 所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当 时，，要证明，

即证，即证：.

设，则 ，令得，.

当时，，当时，.

所以为极大值点，且在处取得最大值．

所以，即．故.

（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,

则有+

,

故：+

21．（I）见解析；（II）．

试题解析：（I）平面 ；

（II）取的中点为，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量和

，设平面的法向量和

，设平面的法向量和二面角的余弦值为．

22．（1）；（2）.

【详解】

（1）由中垂线的性质得，，

所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，

设曲线的方程为，则，，

因此，曲线的方程为:；

（2）由题意，可设的方程为，

联立方程得，

设、，则由根与系数关系有，

所以，

同理，与的距离为，

所以，四边形的面积为，

令，则，得，

由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，

所以，函数在上为减函数，

当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.