还剩20页未读，
继续阅读
2021届广东省珠海市第二中学高三上学期第二周周测（9.9）数学试题
展开
这是一份2021届广东省珠海市第二中学高三上学期第二周周测（9.9）数学试题，共23页。
珠海市第二中学2021届高三年级
第二周晚修测试题（2020.9.9）
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
3．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（ ）
A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（ ）
A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，
C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，
5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ）
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
A． B．
C．y＝x2 D．（x+y）（x﹣y）＝0
7．已知，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C． D．
8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．
B．f（x）＝|x|﹣2cosx
C．
D．f（x）＝10|lgx|
二．多选题（共4小题）
9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（ ）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅
10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是z（为z的共轭复数）的充要条件
D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（ ）
A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心
B．函数f（x）的一个周期是4
C．f（3）＝﹣1
D．f（2）＝0
12．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C．球O的表面积为50πcm2
D．OD⊥PA
三．填空题（共4小题）
13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝ ．
14．已知平面向量与的夹角为，，则 ．
15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有 种．（用数字作答）
16．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA，则BC＝ ．
四．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．
（1）求A；
（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．
18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
答题卡
姓名：_____________ 班级：_____________ 学号：_____________ 分数：_____________
选择题（60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
填空题（20分）
13.________________；14.________________；15.________________；16.________________．
解答题
17.（10分）
18.（10分）
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
20．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2[（）2+（x2）2+…+（）2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．
22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．
（1）若a＝5，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}
【解答】解：∵集合，
∴A＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：D．
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是
“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”．
故选：D．
3．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（ ）
A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
【解答】解：x＝±2是指x＝2或x＝﹣2．
∴使用了使用了逻辑联结词“或”，
故选：B．
4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（ ）
A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，
C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，
【解答】解：∵命题p：∀x∈N，x3＞x2，
∴￢p：∃x0∈N，，
故选：D．
5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：由sinx＝0，得x＝kπ，k∈Z，则cosx＝±1；
反之，由cosx＝﹣1，可得x＝（2k+1）π，k∈Z，则sinx＝0．
∴“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ）
A．
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B．
C．y＝x2
D．（x+y）（x﹣y）＝0
【解答】解：根据函数的定义，每个x都有唯一的y对应，从而判断选项A，B，C都表示y是x的函数；
∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2＝0，
∴y2＝x2，
∴任一x都有两个y与之对应，（x+y）（x﹣y）＝0不能表示“y是x的函数”．
故选：D．
7．已知，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C． D．
【解答】解：，
∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．
故选：A．
8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．
B．f（x）＝|x|﹣2cosx
C．
D．f（x）＝10|lgx|
【解答】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；
A：f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2x
＝log2（4x+1）﹣log222x+x＝log2（4x+1）﹣x＝f（x）．
f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2log2（2x），
∵当x≥0时，函数y＝2x单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，故A正确；
B：x＞0时，f（x）＝x﹣2cosx，令f′（x）＝1﹣2sinx＞0，
得x∈（0，2kπ）∪（2kπ，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；
C：x≠0时，x22，当且仅当x2，即x＝±1时，等号成立，
∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（ ）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅
【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，
故选：BD．
10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是z（为z的共轭复数）的充要条件
D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2
【解答】解：复数z＝（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i；
对于A：当a＝2时，z为纯虚数，故A正确；
对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得，解得a；故B不对；
对于C：共轭复数，需满足2a+1＝﹣2a﹣1，可得a，故C正确；
对于D：由z+|z|＝x+5i，即2a+1＝5，可得a＝2，故D正确；
故选：ACD．
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（ ）
A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心
B．函数f（x）的一个周期是4
C．f（3）＝﹣1
D．f（2）＝0
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，
∵f（2﹣x）＝f（x），
∴f（x）关于x＝1对称，f（x+4）＝f（x），且f（1）＝1，
∴函数f（x）的周期为4，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2）＝f（0）＝0．
故选：BCD．
12．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C．球O的表面积为50πcm2
D．OD⊥PA
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，
∴三棱锥P﹣ABC的体积为AP•S△ABC54×3＝10cm3，故A正确；
∵AB⊥AP，AB⊥AC，AP∩AC＝A，
∴AB⊥平面PAC，∴直线BC与平面PAC所成的角为∠ACB，
∴tan∠ACB，故B错误；
由AP，AB，AC两两垂直可知该三棱锥是球O内接长方体的一角，
球的直径即为长方体的体对角线长，体对角线长为5，
∴外接球半径为，所以球O的表面积为4π•50πcm2，故C正确；
∵点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，
∴OD⊥平面ABC，因为AP⊥AB，AP⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC，
∴OD∥PA，故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝ ．
【解答】解：角α的终边为点P（3，﹣4），所以x＝3，y＝﹣4，r＝5，
sinα，
故答案为：．
14．已知平面向量与的夹角为，，则 ．
【解答】解：∵（，﹣1），∴||＝2，
∴•||•||cos，2×11．
∴|2|．
故答案为：．
15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有 80 种．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①A，B相邻，将AB看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，
②将C，D安排在A，B的两侧，有2种情况，
③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排E，有4种情况，
五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排E，有5种情况，
则有2×2×4×5＝80种情况，
故答案为：80
16．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA，则BC＝ 44 ．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝5，AD＝7，cosA，
∴由余弦定理可得BD8，
∴cos∠ABD，
∵AB⊥BC，∠ABC，
∴sin∠CBD＝sin（∠ABD）＝cos∠ABD，
∵∠BCD＝135°，
∴在△BDC中，由正弦定理，可得，可得CD＝4，
∵在△BDC中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，可得：64＝BC2+32﹣2，整理可得：BC2+8BC﹣32＝0，
∴解得BC＝44，负值舍去．
故答案为：44．
四．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．
（1）求A；
（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵b＝a（sinC+cosC），
由正弦定理得sinB＝sinA（sinC+cosC），
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC＝sinAsinC+sinAcosC，
∴cosA＝sinA，
∴tanA＝1，
∵0＜A＜π，
∴A，
（2）方案一：选条件①和②．
由正弦定理，得b．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得，6＝4+c2﹣2×2c，
解得c1，
∴△ABC的面积SacsinB2（1）
方案二：选条件①和③．
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得4＝b2+2b2﹣2b2，
则b2＝4，所以b＝2．
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S2×2＝2，
方案三：选条件②和③，
A，B，
则C＝π，
∴sinC＝sin（）
由2，
∴b＝2，C＝21，
∴cb，
此时三角形不存在．
18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
所以2a5＝2a3+3a4，整理得
整理得2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或，
①当q＝2时，，
②当q时，．
（2）由于an＞0，所以．
故bn＝anlog2an+1＝n•2n﹣1，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
整理得：．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（I）得，PD，DC，BC两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面PBC的法向量为，直线PA与平面PBC所成角为θ，
，∴（0，1，1），
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
20．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2[（）2+（x2）2+…+（）2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
【解答】解：（Ⅰ）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，
所以该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有1000325．
（Ⅱ）由题可知，跳绳成绩在[60，70）的样本学生有2人，在[80，90）的样本学生有3人，
X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，X取值为0，1，2．
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
（Ⅲ）甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．
当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值为79，84，90或79，85，90．
21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．
【解答】解：（1）由已知得圆E的圆心为（0，﹣1），半径为4，|PQ|＝|PF|，
∴|PE|+|PF|＝|PE|+|PQ|＝|QE|＝4＞|EF|＝2，
∴点P在以E，F为焦点的椭圆上，
2a＝4，c＝1，∴a＝2，，
∴曲线C的方程为．
（2）曲线C的方程为令y＝﹣1，解得x，
所以，不妨取，
设，代入，
整理可得（3k2+4）x2+（9k2﹣6k）xk2﹣9k﹣9＝0，
△＝0⇒k＝﹣2，∴直线l的方程为2x+y+4＝0，∴B（﹣4，4），
则，∴以线段AB为直径的圆过定点F．
22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．
（1）若a＝5，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由已知得f（x）＝x2﹣5x+2lnx，
求导得f′（x）＝2x﹣5，
随着x的变化f′（x），f（x）变化情况如下表：
x
（0，）
（，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以f（x）的极大值为f（）2ln2，极小值为f（2）＝﹣6+2ln2．
（2）因为f（x）＝x2﹣ax+2lnx，所以f′（x），（x＞0），
令p（x）＝2x2﹣ax+2（x＞0），△＝a2﹣16，
①当△≤0时，即﹣4≤a≤4时，p（x）≥0，即f′（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）．
②当△＞0时，即a＜﹣4或a＞4时，
若a＜﹣4时，则p（x）＞0，即f′（x）＞0，
所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）．
若a＞4时，令p（x）＝2x2﹣ax+2＝0，得x1，x2，
由f′（x）＞0，即p（x）＞0得0＜x＜x1或x＞x2；
由f′（x）＜0，即p（x）＜0得x1＜x＜x2；
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）
综上所述，当a≤4时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞4时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（，+∞），
单调递减区间为（，）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/4 19:15:50；用户：497232607；邮箱：497232607@qq.com；学号：4383390
珠海市第二中学2021届高三年级
第二周晚修测试题（2020.9.9）
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
3．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（ ）
A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（ ）
A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，
C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，
5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ）
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
A． B．
C．y＝x2 D．（x+y）（x﹣y）＝0
7．已知，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C． D．
8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．
B．f（x）＝|x|﹣2cosx
C．
D．f（x）＝10|lgx|
二．多选题（共4小题）
9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（ ）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅
10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是z（为z的共轭复数）的充要条件
D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（ ）
A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心
B．函数f（x）的一个周期是4
C．f（3）＝﹣1
D．f（2）＝0
12．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C．球O的表面积为50πcm2
D．OD⊥PA
三．填空题（共4小题）
13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝ ．
14．已知平面向量与的夹角为，，则 ．
15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有 种．（用数字作答）
16．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA，则BC＝ ．
四．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．
（1）求A；
（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．
18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
答题卡
姓名：_____________ 班级：_____________ 学号：_____________ 分数：_____________
选择题（60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
填空题（20分）
13.________________；14.________________；15.________________；16.________________．
解答题
17.（10分）
18.（10分）
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
20．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2[（）2+（x2）2+…+（）2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．
22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．
（1）若a＝5，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，2} B．{﹣2，﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0}
【解答】解：∵集合，
∴A＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：D．
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是
“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”．
故选：D．
3．命题“方程x2﹣4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（ ）
A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
【解答】解：x＝±2是指x＝2或x＝﹣2．
∴使用了使用了逻辑联结词“或”，
故选：B．
4．已知命题p：∀x∈N，x3＞x2，则命题￢p为（ ）
A．∀x∉N，x3＜x2 B．∃x0∈N，
C．∀x∈N，x3≤x2 D．∃x0∈N，
【解答】解：∵命题p：∀x∈N，x3＞x2，
∴￢p：∃x0∈N，，
故选：D．
5．“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：由sinx＝0，得x＝kπ，k∈Z，则cosx＝±1；
反之，由cosx＝﹣1，可得x＝（2k+1）π，k∈Z，则sinx＝0．
∴“sinx＝0”是“cosx＝﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
6．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ）
A．
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B．
C．y＝x2
D．（x+y）（x﹣y）＝0
【解答】解：根据函数的定义，每个x都有唯一的y对应，从而判断选项A，B，C都表示y是x的函数；
∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2＝0，
∴y2＝x2，
∴任一x都有两个y与之对应，（x+y）（x﹣y）＝0不能表示“y是x的函数”．
故选：D．
7．已知，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C． D．
【解答】解：，
∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．
故选：A．
8．下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．
B．f（x）＝|x|﹣2cosx
C．
D．f（x）＝10|lgx|
【解答】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；
A：f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2x
＝log2（4x+1）﹣log222x+x＝log2（4x+1）﹣x＝f（x）．
f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2log2（2x），
∵当x≥0时，函数y＝2x单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，故A正确；
B：x＞0时，f（x）＝x﹣2cosx，令f′（x）＝1﹣2sinx＞0，
得x∈（0，2kπ）∪（2kπ，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；
C：x≠0时，x22，当且仅当x2，即x＝±1时，等号成立，
∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．已知全集U＝R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有（ ）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∩（∁UB）＝∅
【解答】解：∵A⫋B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∩B＝≠∅，A∩（∁UB）＝∅，
故选：BD．
10．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是z（为z的共轭复数）的充要条件
D．若z+|z|＝x+5i（x∈R），则实数a的值为2
【解答】解：复数z＝（a+i）（1+2i）＝（a﹣2）+（2a+1）i；
对于A：当a＝2时，z为纯虚数，故A正确；
对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得，解得a；故B不对；
对于C：共轭复数，需满足2a+1＝﹣2a﹣1，可得a，故C正确；
对于D：由z+|z|＝x+5i，即2a+1＝5，可得a＝2，故D正确；
故选：ACD．
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2﹣x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（ ）
A．（1，0）是函数f（x）的一个对称中心
B．函数f（x）的一个周期是4
C．f（3）＝﹣1
D．f（2）＝0
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，
∵f（2﹣x）＝f（x），
∴f（x）关于x＝1对称，f（x+4）＝f（x），且f（1）＝1，
∴函数f（x）的周期为4，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2）＝f（0）＝0．
故选：BCD．
12．已知在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为10cm3
B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C．球O的表面积为50πcm2
D．OD⊥PA
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，
∴三棱锥P﹣ABC的体积为AP•S△ABC54×3＝10cm3，故A正确；
∵AB⊥AP，AB⊥AC，AP∩AC＝A，
∴AB⊥平面PAC，∴直线BC与平面PAC所成的角为∠ACB，
∴tan∠ACB，故B错误；
由AP，AB，AC两两垂直可知该三棱锥是球O内接长方体的一角，
球的直径即为长方体的体对角线长，体对角线长为5，
∴外接球半径为，所以球O的表面积为4π•50πcm2，故C正确；
∵点O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，
∴OD⊥平面ABC，因为AP⊥AB，AP⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC，
∴OD∥PA，故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝ ．
【解答】解：角α的终边为点P（3，﹣4），所以x＝3，y＝﹣4，r＝5，
sinα，
故答案为：．
14．已知平面向量与的夹角为，，则 ．
【解答】解：∵（，﹣1），∴||＝2，
∴•||•||cos，2×11．
∴|2|．
故答案为：．
15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有 80 种．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①A，B相邻，将AB看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，
②将C，D安排在A，B的两侧，有2种情况，
③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排E，有4种情况，
五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排E，有5种情况，
则有2×2×4×5＝80种情况，
故答案为：80
16．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝135°，cosA，则BC＝ 44 ．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝5，AD＝7，cosA，
∴由余弦定理可得BD8，
∴cos∠ABD，
∵AB⊥BC，∠ABC，
∴sin∠CBD＝sin（∠ABD）＝cos∠ABD，
∵∠BCD＝135°，
∴在△BDC中，由正弦定理，可得，可得CD＝4，
∵在△BDC中，由余弦定理BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，可得：64＝BC2+32﹣2，整理可得：BC2+8BC﹣32＝0，
∴解得BC＝44，负值舍去．
故答案为：44．
四．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（sinC+cosC）．
（1）求A；
（2）在这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若____，____，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵b＝a（sinC+cosC），
由正弦定理得sinB＝sinA（sinC+cosC），
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC＝sinAsinC+sinAcosC，
∴cosA＝sinA，
∴tanA＝1，
∵0＜A＜π，
∴A，
（2）方案一：选条件①和②．
由正弦定理，得b．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得，6＝4+c2﹣2×2c，
解得c1，
∴△ABC的面积SacsinB2（1）
方案二：选条件①和③．
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得4＝b2+2b2﹣2b2，
则b2＝4，所以b＝2．
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S2×2＝2，
方案三：选条件②和③，
A，B，
则C＝π，
∴sinC＝sin（）
由2，
∴b＝2，C＝21，
∴cb，
此时三角形不存在．
18．在等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若an＞0，记bn＝anlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
所以2a5＝2a3+3a4，整理得
整理得2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或，
①当q＝2时，，
②当q时，．
（2）由于an＞0，所以．
故bn＝anlog2an+1＝n•2n﹣1，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
整理得：．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（I）得，PD，DC，BC两两互相垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面PBC的法向量为，直线PA与平面PBC所成角为θ，
，∴（0，1，1），
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
20．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）．
（Ⅰ）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”．已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（Ⅱ）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，记X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，求X的分布列：
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s2[（）2+（x2）2+…+（）2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
【解答】解：（Ⅰ）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，
所以该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有1000325．
（Ⅱ）由题可知，跳绳成绩在[60，70）的样本学生有2人，在[80，90）的样本学生有3人，
X表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70）的学生人数，X取值为0，1，2．
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
（Ⅲ）甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．
当数据a，b，c的方差s2最小时，a，b，c的值为79，84，90或79，85，90．
21．已知Q为圆E：x2+（y+1）2＝16上一动点，F（0，1），QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线l为曲线C上一点A（x0，﹣1）处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．
【解答】解：（1）由已知得圆E的圆心为（0，﹣1），半径为4，|PQ|＝|PF|，
∴|PE|+|PF|＝|PE|+|PQ|＝|QE|＝4＞|EF|＝2，
∴点P在以E，F为焦点的椭圆上，
2a＝4，c＝1，∴a＝2，，
∴曲线C的方程为．
（2）曲线C的方程为令y＝﹣1，解得x，
所以，不妨取，
设，代入，
整理可得（3k2+4）x2+（9k2﹣6k）xk2﹣9k﹣9＝0，
△＝0⇒k＝﹣2，∴直线l的方程为2x+y+4＝0，∴B（﹣4，4），
则，∴以线段AB为直径的圆过定点F．
22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．
（1）若a＝5，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由已知得f（x）＝x2﹣5x+2lnx，
求导得f′（x）＝2x﹣5，
随着x的变化f′（x），f（x）变化情况如下表：
x
（0，）
（，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以f（x）的极大值为f（）2ln2，极小值为f（2）＝﹣6+2ln2．
（2）因为f（x）＝x2﹣ax+2lnx，所以f′（x），（x＞0），
令p（x）＝2x2﹣ax+2（x＞0），△＝a2﹣16，
①当△≤0时，即﹣4≤a≤4时，p（x）≥0，即f′（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）．
②当△＞0时，即a＜﹣4或a＞4时，
若a＜﹣4时，则p（x）＞0，即f′（x）＞0，
所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞）．
若a＞4时，令p（x）＝2x2﹣ax+2＝0，得x1，x2，
由f′（x）＞0，即p（x）＞0得0＜x＜x1或x＞x2；
由f′（x）＜0，即p（x）＜0得x1＜x＜x2；
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）
综上所述，当a≤4时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞4时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（，+∞），
单调递减区间为（，）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/4 19:15:50；用户：497232607；邮箱：497232607@qq.com；学号：4383390
相关试卷
广东省华南师大附中2024届高三上学期周测数学试题含解析： 这是一份广东省华南师大附中2024届高三上学期周测数学试题含解析，文件包含广东省华南师大附中2024届高三上学期数学周测202421答案pdf、广东省华南师大附中2024届高三上学期数学周测202421pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
深圳实验中学高一第八周周测数学试卷： 这是一份深圳实验中学高一第八周周测数学试卷，共4页。
广东省东莞四中2021届高三上学期数学第12周周测数学试题 Word版含答案： 这是一份广东省东莞四中2021届高三上学期数学第12周周测数学试题 Word版含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
