2021北京海淀高一（上）期末数学（教师版）

2021北京海淀高一（上）期末

数    学

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（    ）

A. 18人 B. 36人 C. 45人 D. 60人

5. 已知，且，则下列不等式一定成立是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A. (且 )

B. (，且 )

C.

D.

二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.

11. 不等式的解集为__________.

12. 某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.

13. 已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)

14. 函数的定义域为D，给出下列两个条件：

①对于任意，当时，总有；

②在定义域内不是单调函数.

请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.

15. 已知函数给出下列四个结论：

①存在实数，使函数为奇函数；

②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；

③对任意实数和，函数总存零点；

④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.

三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或满算步骤.

16. 已知全集，求：

（1）；

（2）.

17. 已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（2）解不等式.

18. 某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：

假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.

（1）从该商城销售甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；

（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.

19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.

（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.

①；②；

（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；

（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.

参考答案

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由图可得，由选项即可判断.

【详解】解：由图可知：，

，

由选项可知：，

故选：D.

2. 若，则为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用全称命题的否定变换形式即可得出结果.

【详解】，

则为.

故选：A

3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.

【详解】对A，函数的图象关于轴对称，

故是偶函数，故A错误；

对B，函数的定义域为不关于原点对称，

故是非奇非偶函数，故B错误；

对C，函数的图象关于原点对称，

故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；

对D，函数的图象关于原点对称，

故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.

故选：C.

4. 某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（    ）

A. 18人 B. 36人 C. 45人 D. 60人

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.

【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，

故抽样比为：，

抽取的男生人数为：.

故选：B.

5. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.

【详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；

对B，令，，此时满足，但，故B错；

对C，若，，则，故C错；

对D，

，

则，故D正确.

故选：D.

6. 从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出从数字中随机取两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率.

【详解】解：从数字中随机取两个不同的数，

则有种选法，有种选法，共有种情况；

则满足为整数的情况如下：

当时，或有种情况；

当时，有种情况；

当或时，则不可能为整数，

故共有种情况，

故为整数的概率是：.

故选：B.

7. 已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，

所以，函数在和上均为增函数.

对于A选项，当时，，，此时，，

所以，函数在上无零点；

对于BCD选项，当时，，，

由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.

故选：C.

8. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先由在区间上单调递增，求出的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断.

【详解】解：的对称轴为：，

若在上单调递增，

则，

即，在区间上单调递增，

反之，在区间上单调递增，，

故 “”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

9. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.

【详解】解：，

即，

即

又

当且仅当“”，即“”时等号成立，

即，

故.

故选：C.

10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A. (且 )

B. (，且 )

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由散点图直接选择即可.

【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，

即B符合.

故选：B.

二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.

11. 不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】

【详解】 由不等式，即，所以不等式的解集为.

12. 某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.

【答案】    ①. ；    ②.

【解析】

【分析】

根据极差，中位数的定义即可计算.

【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式的次数的极差为：；

使用支付方式的次数的中位数为17，

易知：，

解得：.

故答案为：；.

13. 已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)

【答案】

【解析】

【分析】

利用特殊值即可比较大小.

【详解】解：，

，

，

故.

故答案为：.

14. 函数的定义域为D，给出下列两个条件：

①对于任意，当时，总有；

②在定义域内不是单调函数.

请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.

【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，

故对于任意，当时，总有；

且在其定义域上不单调.

故答案为：.

15. 已知函数给出下列四个结论：

①存在实数，使函数为奇函数；

②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；

③对任意实数和，函数总存在零点；

④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.

【答案】① ② ③ ④

【解析】

【分析】

分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.

【详解】

如上图分别为，和时函数的图象，

对于① ：当时，，

图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；

对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；

对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确

对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；

故答案为：① ② ④

【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.

三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或满算步骤.

16. 已知全集，求：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）求出集合，再根据集合间的基本运算即可求解；

（2）求出，再根据集合间的基本运算即可求解.

【详解】解：（1）由，

解得：，

故，

又 ，

；

（2）由（1）知：，

或，

或.

17. 已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；

（2）解不等式.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用函数单调性的定义证明即可；

（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.

【详解】解：（1）设任意的且，

则

，

且，

，，

即，

即，

即对任意的，当时，都有，

在区间上增函数；

（2）由（1）知：在区间上是增函数；

又，

，

即，

即，

解得：，

即的解集为：.

【点睛】方法点睛：

定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算，

3.定号：确定的正负，

4.得出结论：根据同增异减得出结论.

18. 某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：

假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.

（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；

（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由频率表示概率即可求出；

（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.

【详解】解：（1）在图表中，甲品牌的个样本中，

首次出现故障发生在保修期内的概率为：，

设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，

其首次出现故障发生在保修期内为事件，

利用频率估计概率，得，

即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，

其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；

（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，

其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，

从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，

其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，

利用频率估计概率，得：，

则

,

某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.

19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.

（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.

①；②；

（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；

（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.

【答案】（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；

（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；

（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.

【详解】解：（1），定义域为，

则有，

显然存在正实数，对任意的，总有，

故具有性质；

，定义域为，

则，

当时，，

故不具有性质；

（2）假设二次函数不是偶函数，

设，其定义域为，

即，

则，

易知，是无界函数，

故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，

故是偶函数；

（3）的定义域为，

，

具有性质，

即存在正实数k，对任意的，总有，

即，

即，

即，

即，

即，

即，

通过对比解得：，

即.

【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.