2021北京海淀高一（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京海淀高一（上）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了 若，则等内容，欢迎下载使用。
2021北京海淀高一（上）期末数    学一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若，则（    ）A.  B. C.  D. 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（    ）A. 18人 B. 36人 C. 45人 D. 60人5. 已知，且，则下列不等式一定成立是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9. 对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）A. (且 )B. (，且 )C. D. 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.11. 不等式的解集为__________.12. 某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.支付方式A 支付方式B4   206  71   05  3126  m  9113. 已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)14. 函数的定义域为D，给出下列两个条件：①对于任意，当时，总有；②在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.15. 已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或满算步骤.16. 已知全集，求：（1）；（2）.17. 已知函数.（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解不等式.18. 某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：型号甲乙首次出现故障的时间x(年)硬盘数(个)212123假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.（1）从该商城销售甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由图可得，由选项即可判断.【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.2. 若，则为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定变换形式即可得出结果.【详解】，则为.故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.4. 某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（    ）A. 18人 B. 36人 C. 45人 D. 60人【答案】B【解析】【分析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：，抽取的男生人数为：.故选：B.5. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；对B，令，，此时满足，但，故B错；对C，若，，则，故C错；对D， ，则，故D正确.故选：D.6. 从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先计算出从数字中随机取两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率.【详解】解：从数字中随机取两个不同的数，则有种选法，有种选法，共有种情况；则满足为整数的情况如下：当时，或有种情况；当时，有种情况；当或时，则不可能为整数，故共有种情况，故为整数的概率是：.故选：B.7. 已知函数，则下列区间中含有的零点的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，所以，函数在和上均为增函数.对于A选项，当时，，，此时，，所以，函数在上无零点；对于BCD选项，当时，，，由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.故选：C.8. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由在区间上单调递增，求出的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断.【详解】解：的对称轴为：，若在上单调递增，则，即，在区间上单调递增，反之，在区间上单调递增，，故 “”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.9. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【详解】解：，即，即又 当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）A. (且 )B. (，且 )C. D. 【答案】B【解析】【分析】由散点图直接选择即可.【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，即B符合.故选：B.二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.11. 不等式的解集为__________.【答案】【解析】【详解】 由不等式，即，所以不等式的解集为. 12. 某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.支付方式A 支付方式B4   206  71   05  3126  m  91 【答案】    ①. ；    ②. 【解析】【分析】根据极差，中位数的定义即可计算.【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式的次数的极差为：；使用支付方式的次数的中位数为17，易知：，解得：.故答案为：；.13. 已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)【答案】【解析】【分析】利用特殊值即可比较大小.【详解】解：，，，故.故答案为：.14. 函数的定义域为D，给出下列两个条件：①对于任意，当时，总有；②在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.【答案】【解析】【分析】根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，故对于任意，当时，总有；且在其定义域上不单调.故答案为：.15. 已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【答案】① ② ③ ④【解析】【分析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为，和时函数的图象，对于① ：当时，，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；故答案为：① ② ④【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或满算步骤.16. 已知全集，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出集合，再根据集合间的基本运算即可求解；（2）求出，再根据集合间的基本运算即可求解.【详解】解：（1）由，解得：，故，又 ，；（2）由（1）知：，或，或.17. 已知函数.（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解不等式.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.【详解】解：（1）设任意的且，则 ，且，，，即，即，即对任意的，当时，都有，在区间上增函数；（2）由（1）知：在区间上是增函数；又，，即，即，解得：，即的解集为：.【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：1.取值：任取，，规定，2.作差：计算，3.定号：确定的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.18. 某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：型号甲乙首次出现故障的时间x(年)硬盘数(个)212123假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由频率表示概率即可求出；（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.【详解】解：（1）在图表中，甲品牌的个样本中，首次出现故障发生在保修期内的概率为：，设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件，利用频率估计概率，得，即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，利用频率估计概率，得：，则 ,某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.【答案】（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.【详解】解：（1），定义域为，则有，显然存在正实数，对任意的，总有，故具有性质；，定义域为，则，当时，，故不具有性质；（2）假设二次函数不是偶函数，设，其定义域为，即，则，易知，是无界函数，故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，故是偶函数；（3）的定义域为， ，具有性质，即存在正实数k，对任意的，总有，即，即，即，即，即，即，通过对比解得：，即.【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.