数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程当堂检测题

2．2.1　直线的点斜式方程

1．已知直线l经过点P(2，1)，且斜率为1，则直线l的方程是(　　)

A．x＋y＋1＝0    B．x＋y－3＝0

C．x－y－1＝0    D．x－y－4＝0

2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　)

A．y＝x＋2    B．y＝－x＋2

C．y＝－x－2    D．y＝x－2

3．过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)

A．x－y－3＝0    B．x－y－＝0

C．x＋y－＝0    D．x＋y＋＝0

4．[2023·山西运城中学高二检测]已知直线l的倾斜角是135°，且过点(1，0)，则下列四个点中在直线l上的是(　　)

A．(0，－1)    B．(－1，2)

C．(0，－)    D．(2，1)

5．[2023·福建漳州高二检测]若直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y＋2＝0    B．2x＋y＋2＝0

C．2x＋y－2＝0    D．2x－y＋10＝0

6．(多选)已知两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，下列结论正确的是(　　)

A．若l1∥l2，则k1＝k2

B．若k1＝k2，则l1∥l2

C．若k1k2＝1，则l1⊥l2

D．若l1⊥l2，则k1k2＝－1

7．经过点A(2，3)，且倾斜角为的直线的斜截式方程为________________．

8．直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l在y轴上的截距为________．

1．以A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线的方程为(　　)

A．y＝－3x－4    B．y＝3x－4

C．y＝3x＋4   D．y＝－3x＋4

2．直线l的斜率是2，且在x轴上的截距是－2，则直线l的方程是(　　)

A．y＝2x＋4    B．y＝2x－4

C．y＝2x＋2    D．y＝2x－2

3．已知△ABC的三个顶点A(3，0)，B(－1，2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是(　　)

A．x＋5y－5＝0    B．x＋2y＋5＝0

C．2x＋y－5＝0    D．2x－y－5＝0

4．若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(3，5)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．(－1，－)

B．(－，0)

C.(－∞，－1)∪(，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(－，＋∞)

5．(多选)过点(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为(　　)

A．2x－y＝0    B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0    D．x＋y－1＝0

6．(多选)关于直线l：mx－y－4＝0，下列说法正确的是(　　)

A．直线l在y轴上的截距为4

B．当m＝0时，直线l的倾斜角为0

C．当m≥0时，直线l不经过第二象限

D．当m＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是8

7．直线l经过点B(－2，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为________________________________________________________________________．

8．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则AB边所在直线的方程是______________，BC边上的中线所在直线的方程是________________．

9．[2023·安徽芜湖一中高二检测]在平行四边形ABCD中，A(－1，2)，B(1，3)，C(3，－1)，点E是线段BC的中点．

(1)求直线CD的方程；

(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．

10．[2023·江苏泰州高二检测]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(5，1)，点C在x轴上，且∠CAB＝.

(1)求直线AC的斜率；

(2)求直线BC的方程．

1．直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1不过第二象限，则a的取值范围为(　　)

A．a<2    B．－2≤a≤3

C．a≥2    D．a≥4

2．过点P(3，4)且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是________________．

3．一条直线经过点P(3，4).分别求出满足下列条件的直线方程．

(1)与直线x－2y＋5＝0垂直；

(2)交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且三角形AOB的面积取最小值．

2．2.1　直线的点斜式方程

必备知识基础练

1．答案：C

解析：因为直线l经过点P(2，1)，且斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.

2．答案：D

解析：直线的斜率为tan 60°＝，由题意可知，所求直线的方程为y＝x－2.故选D.

3．答案：D

解析：倾斜角为135°的直线的斜率k＝－1，则所求直线方程为y＋2＝－(x－)，即x＋y＋＝0.故选D.

4．答案：B

解析：直线l的倾斜角是135°，所以k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式得直线l的方程为y＝－(x－1)⇒y＝－x＋1，当x＝0时，y＝1，故A错误；当x＝－1时，y＝2，故点(－1，2)在直线l上，故B正确；当x＝0时，y＝1，故C错误；当x＝2时，y＝－1，故D错误．故选B.

5．答案：B

解析：由题意知直线l的斜率为＝－2，又直线l过点(－3，4)，∴直线l的方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0.故选B.

6．答案：ABD

解析：对A，若l1∥l2，则k1＝k2，故A正确；对B，若k1＝k2，又两直线不重合，则l1∥l2，故B正确；对C，若k1k2＝1，则l1与l2不垂直，故C错误；对D，若l1⊥l2，则k1k2＝－1，故D正确．故选ABD.

7．答案：y＝x＋1

解析：因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率k＝tan ＝1，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即y＝x＋1.

8．答案：－7

解析：直线l过点(2，－1)，若l的斜率为3，由直线的点斜式方程得y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：∵直线AB的斜率kAB＝＝，则垂直平分线的斜率k＝－3.又∵线段AB的中点为M(－2，2)，∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即y＝－3x－4.故选A.

2．答案：A

解析：因为直线l的斜率是2，且在x轴上的截距是－2，即直线过点(－2，0)，所以直线l的方程为y＝2(x＋2)，即y＝2x＋4.故选A.

3．答案：D

解析：由题意知：kAB＝＝－，则kCD＝－＝2，故CD所在的直线方程为y＋3＝2(x－1)，即2x－y－5＝0.故选D.

4．答案：A

解析：设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5，解得－1<k<－，所以直线l的斜率的取值范围为(－1，－).故选A.

5．答案：AB

解析：因为横纵截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，设直线方程为y－2＝k(x－1)，令x＝0，得到y＝2－k，令y＝0，得到x＝1－，所以2－k＝1－，解得k＝－1或2，所以直线方程为x＋y－3＝0或2x－y＝0.故选AB.

6．答案：BCD

解析：对于A，直线l：mx－y－4＝0可化为y＝mx－4，由斜截式可知直线l在y轴上的截距为－4，故A错误；

对于B，当m＝0时，直线l为y＝－4，即k＝0，故直线l的倾斜角为0，故B正确；

对于C，当m≥0时，l：y＝mx－4有k≥0，在y轴上的截距为－4，如图易得直线l不经过第二象限，故C正确；

对于D，当m＝1时，直线l为y＝x－4，如图，

易知直线l与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为4，故S＝×4×4＝8，故D正确．故选BCD.

7．答案：y－4＝±(x＋2)

解析：依题意直线的倾斜角为45°或135°，

所以直线的斜率为k＝tan 45°＝1或k＝tan 135°＝－1，

所以直线方程为y－4＝±(x＋2).

8．答案：y＝－x－　y＝－x－

解析：由题知：kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即y＝－x－，BC的中点D(，－)，kAD＝＝－，所以直线AD的方程为y＝－(x＋5)，即y＝－x－.

9．解析：(1)在平行四边形ABCD中，A(－1，2)，B(1，3)，C(3，－1)，则＝＝(2，－4)，则点D(1，－2)，

直线CD的斜率为kCD＝＝，

则有y－(－1)＝(x－3)，即x－2y－5＝0，

所以直线CD的方程是x－2y－5＝0.

(2)依题意，点E(2，1)，则直线DE的斜率kDE＝＝3，

因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为－＝－，

方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0，

所以所求方程是x＋3y－5＝0.

10．解析：

(1)如图，A(1，1)，B(5，1)，可知直线AB平行于x轴，

已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，

即直线AC的倾斜角为，故直线AC的斜率kAC＝tan ＝－1.

(2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0，

将y＝0代入，即求得C点坐标为(2，0).

已知点B(5，1)，kBC＝＝，可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)，

化简得lBC：x－3y－2＝0.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：若a－2＝0，可得a＝2，直线l的方程为x＝，该直线不过第二象限，合乎题意；若a－2≠0，可得a≠2，直线l的斜截式方程为y＝x－，若直线l不过第二象限，则，解得a>2.综上所述，a≥2.故选C.

2．答案：y＝2x－2或y＝x＋

解析：由题意所求直线l的斜率必存在，且不为0，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－4＝k(x－3)，

令x＝0，得y＝4－3k，令y＝0，得x＝，

故所围三角形面积为|4－3k|＝1，即(3k－4)2＝2|k|，

当k>0时，上式可化为9k2－26k＋16＝0，解得k＝2或k＝；

当k<0时，上式可化为9k2－22k＋16＝0，方程无解；

综上：直线l的斜截式方程是y＝2x－2或y＝x＋.

3．解析：(1)因为直线x－2y＋5＝0的斜率为，且所求直线与直线x－2y＋5＝0垂直，

所以所求直线的斜率为－2，

从而所求直线方程为y－4＝－2(x－3)，即2x＋y－10＝0.

(2)由题意可知，所求直线方程的斜率k必存在，且k<0，

则所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

令x＝0，则y＝4－3k；令y＝0，则x＝3－，

从而A(3－，0)，B(0，4－3k)，

故S△AOB＝(3－)(4－3k)＝[24－(9k＋)]，

因为－9k－≥2 ＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时，不等式取等号，

所以S△AOB＝[24－(9k＋)]≥24，

即三角形AOB的面积最小值为24时，直线的斜率为k＝－，

此时直线方程为y－4＝－(x－3)，即4x＋3y－24＝0.