人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时练习

第2课时　用空间向量研究线线角、线面角

1．已知两条异面直线的方向向量分别是m＝(－2，1，2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足(　　)

A.sin θ＝－    B．sin θ＝

C.cos θ＝  D．cos θ＝－

2．[2023·浙江杭州高二检测]在直三棱柱ABC ­ A′B′C′中，侧棱长为4，底面是边长为4的正三角形，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B．    C．　　　D．

3．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(　　)

A.    B．

C.    D．1

4．已知在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝6，E为棱PD的中点，则直线EC与平面PAB所成角的正弦值为(　　)

A. B．

C.    D．

5．(多选)如图，E，F分别是正方体ABCD ­ A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列命题中不正确的为(　　)

A.异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°

B.异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°

C.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°

D.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°

6．[2023·福建福州高二测试]若平面α的法向量n＝(－1，0，1)，直线l的方向向量为d＝(0，1，1)，则l与α所成角的大小为________．

7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则直线AB与平面xOz所成的角的正弦值为________．

8．[2023·天津蓟州高二检测]在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为________．

1．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B．    C．－　　　D．－

2.

如图，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则直线OC与平面ABC所成角的正弦值为(　　)

A.    B．

C.    D．

3．[2023·湖北广水高二检测]在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B．    C．　　　D．

4．[2023·福建龙岩高二检测](多选)如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则(　　)

A.直线AD与直线BC所成角的大小为90°

B.直线AC与直线BD所成角的余弦值为

C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45°

D.直线CD与平面ABC所成角的大小为60°

5.

[2023·辽宁抚顺高二检测]在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，∠BCA＝90°，M是A1B1的中点，以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C ­ xyz，若⊥，则异面直线CM与A1B夹角的余弦值为________．

6．[2023·广东深圳高二测试]如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为________．

7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为BB1的中点．

(1)求异面直线AE与BC1所成的角的余弦值；

(2)求直线AB与平面AD1E所成的角的正弦值．

8．已知正三棱柱ABC ­ A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求三棱柱的侧棱长；

(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．

9．[2023·辽宁凤城一中高二检测]如图，在四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2.

(1)求证：BD∥平面B1CD1；

(2)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．

1．在如图所示的四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝，AB＝4，点M在侧棱PB上，且＝λ，直线MC与平面BDP所成角的正弦值是，则实数λ的值是(　　)

A. B．

C.或    D．或

2．[2023·安徽芜湖高二检测]如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M为线段A1D的中点，N为线段CD1上的动点，则直线C1D与MN所成角的正弦值的最小值为________．

3．[2023·福建福州高二检测]已知在直三棱ABC ­ A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.

(1)证明：BF⊥DE；

(2)当B1D为何值时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大．

第2课时　用空间向量研究线线角、线面角

必备知识基础练

1．答案：C

解析：因为θ∈(0，]，所以cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，sin θ＝＝.故选C.

2．答案：C

解析：

由题意，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，B′(0，2，4)，C′(－2，0，4)，所以＝(－2，2，4)，＝(－2，－2，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以AB′与BC′所成角的余弦值为.故选C.

3．答案：B

解析：

以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的边长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)，＝(0，1，1)，设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，则，令z＝－1，则x＝y＝1，即n＝(1，1，－1)，设BD与平面A1C1D所成角为θ，则sin θ＝＝＝.故选B.

4．答案：B

解析：

由题意，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，则有PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，而PA∩AB＝A，故AD⊥平面PAB，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(4，4，0)，P(0，0，6)，E(0，2，3)，＝(－4，－2，3)，＝(0，4，0).设直线EC与平面PAB所成角为θ，又由题可知为平面PAB的一个法向量，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.故选B.

5．答案：BCD

解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz，D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，易知＝(2，2，0)，＝(0，1，0)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°，故A正确，B错误；由题意可知平面B1EF即为平面A1B1CD，设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B1＝n·DA1＝0.又＝(0，2，0)，DA1＝(2，0，2)，所以，令x＝1，得n＝(1，0，－1)，所以cos 〈，n〉＝＝，所以直线B1D1与平面A1B1CD所成的角为30°，即直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为30°，故C，D错误．故选BCD.

6．答案：

解析：已知直线l的方向向量为d＝(0，1，1)，平面α的法向量为n＝(－1，0，1)，设直线l与平面α所成角为θ，则θ∈[0，]，∴sin θ＝＝＝，∴θ＝，所以直线l与平面α所成角的大小为.

7．答案：

解析：平面xOz的一个法向量为n＝(0，1，0)，＝(1，3，)，所以cos 〈n，〉＝＝.所以直线AB与平面xOz所成的角的正弦值为.

8．答案：

解析：

依题意可知AC，BC，CC1两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝AC＝CC1＝2，则A(2，0，0)，F1(1，0，2)，＝(－1，0，2)，B(0，2，0)，D1(1，1，2)，＝(1，－1，2)，设BD1与AF1所成角为α，则cos α＝＝＝.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：

取BD中点为O，连接AO，CO，所以AO⊥BD，CO⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD且交线为BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面CBD，OC⊂平面CBD，则AO⊥CO.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，所以＝(1，0，－1)，＝(－1，－1，0)，cos 〈，〉＝＝＝－.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选A.

2．答案：D

解析：

以OA，OC，OB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(2，0，0)，B(0，0，2)，C(0，1，0)，＝(0，1，0)，＝(－2，0，2)，＝(－2，1，0)，设平面ABC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，则y＝2，z＝1，所以平面ABC的一个法向量为m＝(1，2，1)；

设直线OC与平面ABC所成角为θ，

则sin θ＝＝＝，即直线OC与平面ABC所成角的正弦值为.故选D.

3．答案：A

解析：

如图，设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，A(0，4，0)，B1(0，2，4)，D1(4，0，4)，则＝(2，0，4)，＝(0，－2，4)，cos 〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围为(0，]，故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.故选A.

4．答案：ABC

解析：

如图所示，过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BF⊥BC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥平面BCD，同理可得BE⊥平面ABC，以点B为坐标原点，BE，BC，BF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝BC＝BD＝2，则A(0，－1，)，B(0，0，0)，D(，－1，0)，C(0，2，0).

对于A选项，＝(，0，－)，＝(0，2，0)，

则·＝0，∴⊥，故直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A对；

对于B选项，＝(0，3，－)，＝(，－1，0)，cos 〈，〉＝＝－＝－，所以直线AC与直线BD所成角的余弦值为，B对；

对于C选项，＝(，0，－)，平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，cos 〈，m〉＝＝－＝－，所以直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C对；

对于D选项，＝(，－3，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(1，0，0)，cos 〈，n〉＝＝＝，所以直线直线CD与平面ABC所成角的大小为30°，D错．故选ABC.

5．答案：

解析：设AA1＝a，则B(0，4，0)，A1(4，0，a)，B1(0，4，a)，C(0，0，0)，M(2，2，a)，可得＝(－4，4，－a)，＝(0，4，a)，∵⊥，则·＝16－a2＝0，得a＝4，故＝(2，2，4)，＝(－4，4，－4)，∴cos 〈，〉＝＝＝－，故异面直线CM与A1B夹角的余弦值为.

6．答案：

解析：

取CD的中点O，以O为原点，以CD所在直线为x轴，以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴，以过点O且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则A(0，－1，1)，B(0，1，1)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，＝(－1，1，－1)，＝(1，－1，－1)，

所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为.

7．解析：(1)以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，E(0，2，1)，B(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(2，0，2)，∴＝(0，2，1)，＝(2，0，2)，

∴|cos 〈，〉|＝＝＝，

即异面直线AE与BC1所成角的余弦值为.

(2)由(1)知：＝(0，2，0)，＝(0，2，1)，AD1＝(2，0，2)，

设平面AD1E的法向量n＝(x，y，z)，

∴，

令y＝1，解得z＝－2，x＝2，∴n＝(2，1，－2)，

∴|cos 〈，n〉|＝＝＝，

即直线AB与平面AD1E所成角的正弦值为.

8．解析：(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，C(0，1，0)，

所以1＝(，1，b)，1＝(－，1，b).

因为AB1⊥BC1，

所以1·1＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.

故三棱柱的侧棱长为.

(2)由(1)知1＝(，1，)，＝(－，1，0).

因为|1|＝＝，||＝＝2，1·＝－()2＋1×1＋×0＝－2，

所以|cos 〈1，〉|＝＝＝，

所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.

9．解析：(1)证明：在四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，

故四边形BB1D1D是平行四边形，

所以BD∥B1D1，

因为BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，

所以BD∥平面B1CD1.

(2)因为AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，

因为AB＝AD＝2，BD＝2，所以AB2＋AD2＝BD2，

所以AB⊥AD，

故AB，AD，AA1两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，B1(2，0，2)，D1(0，2，2)，

所以＝(2，0，0)，B1C＝(0，4，－2)，B1D1＝(－2，2，0).

设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，

∴，即.令x＝1，则y＝1，z＝2，

∴n＝(1，1，2).

设直线AB与平面B1CD1所成角为θ，

∴sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.

所以直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值是.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：

取AD的中点O，由PA＝PD，得PO⊥AD，又PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，可得OP⊥平面ABCD，设AC∩BD＝E，由四边形ABCD是正方形，可知OE⊥AD.建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，0，)，C(2，4，0)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，＝(－2，4，－)，＝(4，－4，0)，＝(2，0，－).由＝λ，得＝＋＝λ＋＝λ(－2，4，－)＋(0，0，)＝(－2λ，4λ，－λ＋)，＝(2＋2λ，4－4λ，λ－)，

设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝，∴平面BDP的一个法向量为n＝(1，1，)，设直线MC与平面BDP所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝

＝＝，化简得44λ2－56λ＋17＝0，解得λ＝，或λ＝.故选C.

2．答案：

解析：

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则M(1，0，1)，C1(0，2，2)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，则＝(0，－2，－2)，因为N为线段CD1上的动点，所以不妨设＝λ (0≤λ≤1)，则得N(0，－2λ＋2，2λ)，所以＝(－1，－2λ＋2，2λ－1)，

则|cos 〈，〉|＝

＝＝.因为λ∈[0，1]，所以8(λ－)2＋∈[，6]，进而∈[，]，所以≤|cos 〈，〉|≤，故当|cos 〈，C1D〉|最大值为时，|sin 〈，〉|最小，且最小值为 ＝，所以直线C1D与直线MN所成角的正弦值的最小值为.

3．解析：(1)在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，则AB⊥BB1，AB∥A1B1，而BF⊥A1B1，即有AB⊥BF，

又BF∩BB1＝B，BF，BB1⊂平面BCC1B1，因此AB⊥平面BCC1B1，

而BC⊂平面BCC1B1，则AB⊥BC，显然BB1⊥BC，

以B为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(2，0，0)，F(0，2，1)，E(1，1，0)，设D(a，0，2)(0≤a≤2)，即＝(0，2，1)，＝(1－a，1，－2)，

有·＝2－2＝0，即有⊥，所以BF⊥DE.

(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，

由(1)知，＝(－1，1，1)，＝(1－a，1，－2)，

则，

令x＝3，得n＝(3，1＋a，2－a)，而＝(2，0，0)，

设直线AB与平面DFE所成的角为θ，

则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝

＝＝，

显然当a＝时，(sin θ)max＝，

所以当B1D＝时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大．