2022-2023学年贵州省黔西南州兴义市重点学校高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年贵州省黔西南州兴义市重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数列，，，的一个通项公式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  等差数列的前项和为，，若，，则数列的公差为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  圆：与圆：的位置关系为(    )

A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离

7.  的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则(    )

A.  B. 的公差为 C.  D.

10.  下列说法正确的是(    )

A. 过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条
B. 过点作圆的切线，切线方程为
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 直线的一个方向向量为

11.  已知双曲线，则下列各选项正确的是(    )

A. 双曲线的焦点坐标为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的虚轴长为

12.  设函数，则下列说法正确的是(    )

A. 定义域是 B. 时，图像位于轴下方
C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的倍，则 ______ ．

14.  已知函数的图象在点处的切线方程为，则 ______ ．

15.  将，，，，，这个数字自左向右排成一行，要求数字，都不能排在两端，则不同的排法共有______ 种用数字作答

16.  已知数到满足，，记，则 ______ ；数列的通项公式为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
名男生，名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
Ⅰ选其中人排成一排；
Ⅱ全体站成一排，男生不能站在一起．

18.  本小题分
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小．
求：Ⅰ展开式中项的系数；
Ⅱ展开式中所有含的有理项．

19.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若，求的最大值与最小值．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，底面，，，分别为和的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．

21.  本小题分
设数列是由正数组成的等比数列，其中，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列是公差为的等差数列，其中，求数列的前项和．

22.  本小题分
已知椭圆：，，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：数列，，，，可以转化为，，，，
则其一个通项公式可以为．
故选：．
观察各项数字的规律即可写出通项公式．
本题考查了数列的概念及其简单表示法，求数列的通项公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为公共汽车上有位乘客，沿途个车站，
所以每位乘客下车的方法都有种，
由分步乘法计数原理可得，乘客下车的可能方式共有种．
故选：．
根据题意，分析可得每个乘客有种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查了分步计数原理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由是等差数列，得，
又，得，解得或舍去，
所以等差数列的公差为，
故选：．
由题意可得，进一步根据即可求出等差数列的公差．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
解得：，
故选：．
利用导数的运算法则即可得出．
本题考查了导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径．
，
又，，
．
故两圆相交，
故选：．
由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：的展开式中含的项为：，
的系数为．
故选：．
利用二项式定理求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种方案，
将剩余人分两组，有两种情况：
一组人，一组人，有种方案；
每组各人，有种方案，
则不同的分配方案种数有种．
故选：．
小明和小李必须安装不同的吉祥物，剩余人分两组，有两种情况，利用排列组合公式计算即可求解．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，，解得，，，B正确；
，，，
，C错误；
，D正确．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，当直线过原点时，直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，
代入点，得，，
直线方程为，所以过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条，故A选项正确；
选项，由于，所以在圆上，圆心为，，
过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，化简可得，故B选项正确；
选项，当时，不存在，经过点倾斜角为的直线方程为，故C选项错误；
选项，直线的斜率为，一个方向向量为，故D选项正确，
故选：．
根据直线方程截距式、点斜式、直线的方向向量、圆的切线方程等知识确定正确答案．
本题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：双曲线，则，，所以，则焦点坐标为，故A错误；
离心率，故C正确，
虚轴长为，故D错误；
渐近线方程为，即，故B正确；
故选：．
根据双曲线方程求出、、，再逐一判断即可．
本题考查双曲线的方程和性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数，则，解得且，
则函数的定义域为，故A正确；
当时，，故的图像位于轴下方，故B正确
，
令，
恒成立，
在上单调递增，
，，
存在使得，
当，时，，当时，，
在，上单调递减，在单调递增，故C正确；
当时，函数取得极小值，无极大值，故有一个极值点，故D错误．
故选：．
先求出函数的定义域，再根据导数和函数单调性和极值的关系即可判断．
本题考查了导数和函数的单调性极值的关系，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：将椭圆方程化为标准形式为，，
长轴长为，短轴长为，
由题意得，，．
故答案为：．
根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，
可得图象在点处的切线斜率为，
又，
所以，可得，，
所以，
故答案为：．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得，的方程组，解方程可得，，进而得到所求和．
本题考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：将，，，，，这个数字自左向右排成一行，若数字，都不能排在两端，
先从，，，中选出个排在两端，再把其余数字全排列，
则不同的排法共有种．
故答案为：．
先从，，，中选出个排在两端，再把其余数字全排列，即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：因为，，
所以，，，，，
因为，
所以，
由于，
又，
即，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即．
故答案为：；．
由已知结合数列的递推关系可构造得，从而结合等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系，还考查了等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ从个元素中选出个排成一排，有种排法．
Ⅱ先安排名女生有种排法，
男生在个女生隔成的六个空中安排共有种排法，
故全体站成一排，男生不能站在一起的排法有种． 

【解析】Ⅰ从人中选出人进行排列，利用排列数公式计算即可求解；
Ⅱ先排名女生，再利用插空法排名男生即可．
本题考查排列的应用，考查插空法，是基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ令，则展开式中各项系数之和为，
各二项式系数和为，则，
，，解得，
二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
展开式中含的系数为；
Ⅱ由Ⅰ可知，令，且，，，，，
解得，，，
则展开式中含的有理项分别为：
，，． 

【解析】Ⅰ先求出，再求出二项展开式的通项公式，求解即可；
Ⅱ令，且，，，，，，求出即可求出含的有理项．
本题主要考查二项式定理的应用，有理项的求法，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ，
令，可得或；令，可得，
所以的单调递增区间是、，单调递减区间是．
Ⅱ由Ⅰ可知在处取得极大值，
在处取得极小值．
，．
时，的最大值与最小值分别为、． 

【解析】Ⅰ对求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
Ⅱ借助Ⅰ直接求解函数的极值、端点值即可．
本题考查函数的单调性、最值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
 

20.【答案】证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，，且，
底面是正方形，且为的中点，，，
，且，四边形是平行四边形，，
又面，面，面．

解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
平面的一个法向量，
因为底面，面，故，
又，，、面
面，是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，． 

【解析】本题考查线面平行的证明，面面角的求法，属中档题．
取的中点，连接、，可证四边形是平行四边形，从而，进而可证平面；
以为坐标原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值．
 

21.【答案】解：Ⅰ设由正数组成的等比数列的公比为，
，，
，，
解得，
；
Ⅱ数列是公差为的等差数列，其中，
，
，
数列的前项和，
，
，
即． 

【解析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解；
由已知结合等差数列的通项公式可求，然后结合错位相减求和方法即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，还考查了错位相减求和，属于中档题．
 

22.【答案】解：由点在椭圆上，可得，
又，解得，，
所以椭圆的方程为；
证明：过点且不与轴垂直的直线的方程设为，
与椭圆方程联立，消去可得，
设，，则，，
则
．
则，斜率之积为定值． 

【解析】将点代入椭圆方程，结合，解方程组可得，的值，即可得到椭圆方程；
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得定值．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．