2022-2023学年贵州省遵义市播州区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省遵义市播州区高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省遵义市播州区高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合S={1,3,5}，则CUS=(    )
A. ⌀ B. {2,4,6} C. {2,4,6,7} D. {1,3,5}
2. 若α为第三象限，则2sinα 1−cos2α的值为(    )
A. 2 B. −1 C. 1 D. −2
3. 函数f(x)=x+1x−2(x>2)的最小值为(    )
A. 2 2 B. 2 2+2 C. 4 D. 2
4. 函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]的图象大致为(    )
A. B.
C. D.
5. 设a，b是非零向量，则“a//b”是“|a+b|=|a|+|b|”的(    )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，在等腰梯形ABCD中，DC=12AB,BC=CD=DA，DE⊥AC于点E，则DE=(    )


A. 12AB−12AC B. 12AB+12AC C. 12AB−14AC D. 12AB+14AC
7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是(    )
A. 略有盈利 B. 略有亏损
C. 没有盈利也没有亏损 D. 无法判断盈亏情况
8. 已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若a=f(sin2π7)，b=f(cos5π7)，c=f(tan5π7)，则(    )
A. b 9. 若x≥y，则下列不等式中正确的是(    )
A. 2−x≥2−y B. x+y2≥ xy C. x2≥y2 D. x2+y2≥2xy
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述，其中正确的有(    )
A. A=2
B. ω=2
C. φ=5π6
D. 若x1+x2=π6，则fx1=fx2
11. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A=“取出的两球同色”，B=“第一次取出的是红球”，C=“第二次取出的是红球”，D=“取出的两球不同色”，下列判断中正确的(    )
A. A与B相互独立 B. A与D互为对立 C. B与C互斥 D. B与D相互独立
12. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣’就是和正弦相关的某类函数，f(x)=sinx+sin3x3+sin5x5+⋯+sin13x13的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(    )
A. 函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π
B. 函数f(x)为奇函数
C. 函数y=f(x)的图象关于直线x=π2对称
D. 函数f(x)的图象关于(π2,0)中心对称
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=x+2,x≤0lnx−1,x>0的零点个数为______ ．
14. 已知α为第四象限角，sinα+cosα=13，则sinα−cosα= ______ ．
15. 函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]，若方程f(x)=k有3个不同的实数解，则k的值为______ ．
16. 已知函数f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)在区间(0,2π)上有且仅有10个零点，则ω的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
(1 )a=mb+nc，求m，n的值；
(2)若(a+kc)//2b−−a，求实数k的值．
18. (本小题12.0分)
已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(m, 154)．
(1)求实数m的值；
(2)f(α)=cos(2π−α)+tan(3π+α)sin(π−α)⋅cos(α+3π2)，求f(α)的值．
19. (本小题12.0分)
哈工大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；
(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π6)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
21. (本小题12.0分)
已知扇形的周长为c．
(1)当扇形中心角为1rad时，扇形的面积为多少？
(2)当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积为多少？
22. (本小题12.0分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π2)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合S={1,3,5}，
则CUS={2,4,6,7}．
故选：C．
利用补集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：因为α为第三象限，
所以sinα<−|sinα|，
则2sinα 1−cos2α=2sinα sin2α=−2|sinα||sinα|=−2．
故选：D．
由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：因为x>2，
所以f(x)=x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2 (x−2)⋅1x−2+2=4，
当且仅当x−2=1x−2，即x=3时取等号．
故选：C．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用f(π)的符号确定选项．
【解答】
解：y=f(x)=xcosx+sinx，
则f(−x)=−xcosx−sinx=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x=π时，y=f(π)=πcosπ+sinπ=−π<0，故排除B．
故选：A．
  
5.【答案】B 
【解析】解：由a//b知，a与b共线，其方向相同或相反，
由|a|+|b|=|a+b|知，(|a|+|b|)2=|a+b|2，
化简得：|a|⋅|b|=a⋅b，即cos〈a,b〉=1，a与b同向．
故a//b是|a|+|b|=|a+b|的必要不充分条件．
故选：B．
将已知等式|a|+|b|=|a+b|两边平方即可判断．
本题考查充分必要条件，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理及向量运算法则，属于基础题．
由题意及所给的图象，结合选项可得出本题要以两向量AB,AC表示向量DE，由向量运算法则易得结论
【解答】
解：由题意及图得，DE=12DA+12DC=12(DC+CA)+12DC=DC−12AC=12AB−12AC，
故选：A．  
7.【答案】B 
【解析】解：y=(1+10%)n(1−10%)n=0.99n<1．
∴该股民这只股票的盈亏情况是略有亏损．
故选：B．
利用y=(1+10%)n(1−10%)n=0.99n<1.即可判断出．
本题考查了指数的运算性质，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：∵f(x)是R上的奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，
∴f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，
∵sin2π7>0，cos5π7<0，tan5π7<0，
∴a=f(sin2π7)>0，b<0，c<0
∵π2<5π7<3π4，
∴cos5π7>cos3π4=− 22，tan5π7 ∴tan5π7 ∴f(tan5π7) 即c 故选：B．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合三角函数的性质是解决本题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：选项A，取x=0，y=−1，则2−x=1，2−y=2，不满足2−x≥2−y，即A错误；
选项B，由基本不等式知，只有当x≥y>0时，才有x+y2≥ xy，即B错误；
选项C，取x=0，y=−1，则x2=0，y2=1，不满足x2≥y2，即C错误；
选项D，因为x≥y，所以(x−y)2≥0，即x2+y2≥2xy，即D正确．
故选：D．
利用特殊值法，取x=0，y=−1，可排除选项A和C，再由基本不等式，得解．
本题考查不等式的大小比较，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

10.【答案】ABD 
【解析】
【分析】
本题考查由部分图象求三角函数解析式和由余弦(型)函数的对称性求参数，属于中档题．
由函数图象求出A的值即可判断A；利用余弦型函数的周期性即可判断B；由f(π12)=2结合φ的取值范围求出φ的值即可判断C；利用余弦型函数的对称性即可判断D．
【解答】
解：因为当x=π12时，y取得最大值2，所以A=2，故A正确；
因为T4=π12−(−π6)=π4，所以T=π，又ω>0，所以ω=2πT=2，故B正确；
因为当x=π12时，y=2，所以2cos(2×π12+φ)=2，所以φ=2kπ−π6(k∈Z)，
又|φ|<π，所以φ=−π6，故C错误；
若x1+x2=π6，则x1+x22=π12，
又f(x)=2cos(2x−π6)的对称轴为x=kπ+π12(k∈Z)，
所以f(x1)=f(x2)，故D正确．
故选：ABD．
  
11.【答案】ABD 
【解析】解：由题可得P(A)=2×24×3=13，P(B)=2×34×3=12，P(D)=2×2+2×24×3=23，
P(AB)=2×14×3=16，P(BD)=2×24×3=13，
所以P(AB)=P(A)⋅P(B)，P(BD)=P(B)⋅P(D)，
所以A与B相互独立，B与D相互独立，故AD正确；
对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；
对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误．
故选：ABD．
根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断AD，根据对立事件，互斥事件的定义可判断BC．
本题主要考查互斥事件、对立事件和相互独立事件的判断，属于基础题．

12.【答案】BC 
【解析】解：f(x)=sinx+sin3x3+sin5x5+⋯+sin13x13，
f(x+2π)=sin(x+2π)+sin3(x+2π)3+sin5(x+2π)5+⋅⋅⋅+sin13(x+2π)13
=sin(x+2π)+sin(3x+6π)3+sin(5x+10π)5+⋅⋅⋅+sin(13x+26π)13
=f(x)，函数f(x)为周期函数，且最小正周期为2π，选项A错误；
f(−x)=sin(−x)+sin(−3x)3+sin(−5x)5+⋅⋅⋅+sin(−13)13
=−sinx−sin3x3−sin5x5−⋅⋅⋅−sin13x13
=−f(x)，函数f(x)为奇函数，选项B正确；
因为f(π−x)=sin(π−x)+sin3(π−x)3+sin5(π−x)5+⋅⋅⋅+sin13(π−x)13
=sinx+sin3x3+sin5x5+⋅⋅⋅+sin13x13
=f(x)，
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=π2对称，选项C正确，选项D错误；
故选：BC．
f(x+2π)=f(x)得函数f(x)为周期函数，且最小正周期为2π；f(−x)=−f(x)得函数f(x)为奇函数；函数y=f(x)在x=π2处取得最值，函数y=f(x)的图象关于直线x=π2对称．
本题考查三角函数的奇偶性、周期性、对称性．

13.【答案】2 
【解析】解：已知函数f(x)=x+2,x≤0lnx−1,x>0，
令f(x)=0，
则x≤0x+2=0或x>0lnx−1=0，
则x=−2或x=e，
即函数f(x)=x+2,x≤0lnx−1,x>0的零点个数为2．
故答案为：2．
令f(x)=0，则x≤0x+2=0或x>0lnx−1=0，然后求解即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，属基础题．

14.【答案】− 173 
【解析】解：因为sinα+cosα=13，
两边平方，可得1+2sinαcosα=19，可得sinαcosα=−49，
又α为第四象限角，sinα<0，cosα>0，
所以sinα−cosα<0，
所以sinα−cosα=− (sinα−cosα)2=− 1−2sinαcosα=− 1−2×(−49)=− 173．
故答案为：− 173．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα=−49，结合α为第四象限角，可求sinα−cosα<0，利用平方差公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，平方和公式以及平方差公式的应用，属于基础题．

15.【答案】0或1 
【解析】解：已知函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]，
则f(x)=3sinx,x∈[0,π]−sinx,x∈(π,2π],
方程f(x)=k有3个不同的实数解等价于f(x)=3sinx,x∈[0,π]−sinx,x∈(π,2π]的图象与直线y=k有3个交点，
由图可知k=0或k=1．
故答案为：0或1．
方程f(x)=k有3个不同的实数解等价于f(x)=3sinx,x∈[0,π]−sinx,x∈(π,2π]的图象与直线y=k有3个交点，然后作出f(x)=3sinx,x∈[0,π]−sinx,x∈(π,2π]的图象，观察直线y=k与y=f(x)的图象有3个交点时，求出k的值即可．
本题考查了函数的零点与函数图象的交点的个数问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．

16.【答案】(5524,6124] 
【解析】解：设t=2ωx+π3，
因为ω>0，x∈(0,2π)，
所以t=2ωx+π3∈(π3,4ωπ+π3)，
因为函数f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)在区间(0,2π)上有且仅有10个零点，
所以由余弦函数的性质可知，19π2<4ωπ+π3≤21π2，
解得5524<ω≤6124．
故答案为：(5524,6124].
设t=2ωx+π3，求出t的范围，然后由余弦函数的性质列出不等式，求解即可．
本题考查余弦函数的图象与性质，涉及了函数的零点，属于基础题．

17.【答案】解：(1)∵a=mb+nc，a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)，
∴(3,2)=(4n−m,n+2m)，
∴4n−m=3n+2m=2，解得m=59,n=89；
(2)a+kc=(4k+3,k+2)，2b−a=(−5,2)，且(a+kc)//(2b−a)，
∴2(4k+3)+5(k+2)=0，解得k=−1613． 
【解析】(1)可求出mb+nc=(4n−m,n+2m)，然后根据a=mb+nc即可得出关于m，n的方程组，然后解出m，n即可；
(2)可求出a+kc=(4k+3,k+2),2b−a=(−5,2)，然后根据平行向量的坐标关系即可求出k的值．
本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，相等向量和平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)因为角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(m, 154)，
所以m<0，
可得m2+( 154)2=1，
解得m=−14或14(舍去)；
(2)由(1)可得cosα=−14，sinα= 154，tanα=− 15，
f(α)=cos(2π−α)+tan(3π+α)sin(π−α)⋅cos(α+3π2)=cosα+tanαsinα⋅sinα=−14− 15( 154)2=−4+16 1515． 
【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义即可求解；
(2)由(1)利用任意角的三角函数的定义可得cosα，sinα，tanα的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

19.【答案】解：(1)甲的成绩的中位数是116+1222=119，乙的成绩的中位数是128+1282=128．
乙同学的成绩的频率分布直方图如下图：

(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，
乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中． 
(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，
现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：
(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10种，
其中2个成绩分属不同同学的情况有：
(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)共6种，
因此事件A发生的概率P(A)=610=35． 
【解析】本题考查概率的求法，考查茎叶图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
(1)甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，根据茎叶图中数据计算频率即可补全频率分布直方图．
(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．
(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，利用列举法能求出事件A发生的概率．

20.【答案】解：(1)由f(x)=2sin(2x+π6)．
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，
∴f(x)∈[−1,2]．
∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2，最小值为−1． 
【解析】(1)利用周期的公式求解，利用整体代入求解单调递增区间；
(2)利用x的范围求出2x+π6的范围，结合sin(2x+π6)的范围可得区间最值．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=c，
(1)当扇形中心角α=1rad时，则lr=1，
∴l=r，又2r+l=c，
解得l=r=c3，
∴扇形的面积S=12lr=c218；
(2)∵r>0，l>0，∴2r+l≥2 2r⋅l，当且仅当2r=l，即r=c4，l=c2时，等号成立，
∴rl≤c28，当且仅当r=c4，l=c2时，等号成立，
∴扇形的面积S=12lr≤c216，此时扇形的中心角α=lr=2，
即当扇形的中心角为2时它有最大面积，最大面积为c216． 
【解析】(1)设扇形的半径为r，弧长为l，利用弧度制的定义可知lr=1，再结合2r+l=c求出r，l的值，进而利用扇形的面积公式求解即可；
(2)利用基本不等式求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，考查了基本不等式的应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B，
由B+A=145B−A=21，解得A=62，B=83，
又函数周期为30，
所以ω=2π30=π15，
可得H(t)=62sin(π15t+φ)+83，
又H(0)=62sin(π15×0+φ)+83=21，
所以sinφ=−1，φ=−π2，
所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)=62sin(π15t−π2)+83，0≤t≤30；
(2)H(t)=62sin(π15t−π2)+83=−62cosπ15t+83，
所以−62cosπ15t+83=52，cosπ15t=12，
所以t=5；
(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲=−62cosπ15t+83，
乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟，
所以乙距离地面高度解析式为H乙=−62cosπ15(t−5)+83，5≤t≤30，
所以两人离地面的高度差h=H甲−H乙=−62cosπ15t+62cosπ15(t−5)=62sin(π15t−π6)，
因为5≤t≤30，所以π15t−π6∈[π6,11π6]，
令h<0得，π15t−π6∈[π,11π6]，即t∈[352,30]
所以在甲进入后的352分钟以后游客乙进入座舱后距离地面高度能超过游客甲． 
【解析】(1)根据函数关系式H(t)=Asin(ωt+φ)+B，求出A、B、φ和ω的值即可得解；
(2)令H(t)=52，求出t∈(0,30)内的值即可；
(3)根据游客甲距离地面高度解析式H甲和乙距离地面高度解析式H乙，利用三角函数的图象计算H乙>H甲时t的范围即可．
本题考查了三角函数模型的实际应用问题，也考查了数学建模问题，是中档题．