2022-2023学年广东省佛山市重点大学学校高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年广东省佛山市重点大学学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数的实部与虚部相等，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  中，若，则该三角形一定是(    )

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

4.  在中，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，满足，，且，则与的夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

8.  在中，角，，的对边分别为，，，已知，的外接圆半径为，的周长为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数的共轭复数为，若，则(    )

A. 的实部是 B. 的虚部是 C.  D.

10.  下列结论正确的是(    )

A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，则是直角三角形
D. 在中，若，，，则的外接圆半径为

11.  如图，函数的图象经过点和，则(    )

A.
B.
C. 若，则
D. 函数的图象关于直线对称
 

12.  已知平面向量，，若，，，则(    )

A.  B. 向量与向量的夹角为
C.  D. 向量与向量的夹角为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设是虚数单位，若复数，则复数的模为______．

14.  已知，则 ______ ．

15.  在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为______ ．

16.  在中，边，，所对的角分别为，，，的面积满足，若，则外接圆的面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
若，求的坐标；
若与垂直，求的值．

18.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，，求的面积．

19.  本小题分

如图，在中，已知点，分别在边，上，且，．

用向量，表示；

设，，，求线段的长．

20.  本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如果，求的面积的最大值．

21.  本小题分
如图，在中，，点在边上，且，，．
求的长；
求的值．

22.  本小题分
设常数，已知．
Ⅰ若是奇函数，求的值及的单调递增区间；
Ⅱ设，中，内角，，的对边分别为，，若，且的面积，求周长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了关于复数的定义，考查复数的运算，是基础题．
求出的实部和虚部，得到关于的方程，解出即可．
【解答】
解：，
若复数的实部与虚部相等，
则，解得：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：中，已知，，的面积为，
解得．
由余弦定里可得．
故选：．
由题意利用三角形的面积公式可求得的值，进而利用余弦定理即可求得的值．
本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据正弦定理可知，


，或即，
所以为等腰或直角三角形
故选：．
根据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或答案可得．
本题主要考查了正弦定理的应用，考查计算能力，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以由余弦定理，可得：，整理可得，
解得或舍去．
故选：．
根据余弦定理和题设中的条件即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：已知，，，
利用余弦定理的应用，
根据，
所以．
故选：．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

根据即可求出，从而可求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．

【解答】

解：，
，
，
，，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：在中，角、、所对的边分别为、、，
且，
则：，
由于：，
故：，
由于：，
利用正弦定理得：，
所以：，
故：，
所以：为等边三角形．
故选：．
直接利用余弦定理的应用求出的值，进一步利用正弦定理得到：，最后判断出三角形的形状．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由余弦定理知，，
因为，所以，，
由正弦定理知，，即，所以，
因为的周长为，所以，
又，
所以，即，
所以，即．
故选：．
先由余弦定理可得和的值，再由正弦定理求得，然后分别代入两个已知等式，运算即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
的实部是，虚部为，故A正确，B错误，
，故C正确，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式判断、、、的结论．

【解答】

解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故A正确；
对于：在锐角中，，所以，
故，所以恒成立，故B正确；
对于：在中，若，整理得：，
又，所以，即，
由于，，故，，所以，则是直角三角形，故C正确；
对于：在中，若，，三角形面积，
所以 ，解得，
所以，所以，则，故D错误；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由图知，最小正周期，
所以，即A错误；
由，知，
所以，，即，，
又，所以，，即B正确；
因为，所以，即，
所以，即C错误；
因为，即D正确．
故选：．
选项A，由图知，最小正周期，从而知；
选项B，由，求得的值；
选项C，结合诱导公式与二倍角公式，即可得解；
选项D，根据正弦函数的对称性，即可得解．
本题考查三角函数的图象与性质，利用函数的图象求解析式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模长公式，向量的夹角公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
根据已知条件，运用向量的模长公式，可得，再结合向量的夹角公式，即可分别求解．

【解答】

解：，
，
，，
，故A选项正确，
，
向量与的夹角为，故选项B错误，选项D正确，
，故选项C错误，
故正确的选项为．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
复数的模为．
故答案为：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
即，，
两式相加得，
所以．
故答案为：．
将所给条件两边同时平方再相加即可得解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
由的面积为，得：，
又，
得，，
由余弦定理得．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求，结合解得，的值，利用余弦定理即可解得的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题．
由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得，结合范围，可求，
利用正弦定理可求外接圆的半径，即可求外接圆的面积．
【解答】
解：，
，可得：，
，
，
则外接圆的半径．
则外接圆的面积．
故答案为：．  

17.【答案】解：，，
；
，
与垂直，
，
即． 

【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，是基础题．
直接由向量的数乘及减法运算求解；
由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解．
 

18.【答案】解：因为，可得，
所以，
又，
所以．
因为，
所以可得，
又，
由余弦定理可得，可得，
解得，，
所以． 

【解析】化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求的值．
由正弦定理可求，进而由余弦定理可得，的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】解：中，点，分别在边，上，
且，，
，，
；
设，，，
则

，
，
即线段的长为． 

【解析】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．
Ⅰ根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可；
Ⅱ根据平面向量的数量积与模长公式，求出即可．
 

20.【答案】解：因为，
所以，即，
由为三角形内角得，；
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，
的面积，即面积的最大值． 

【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；
由已知结合余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：由余弦定理可得，
则，解得；
在中，因为，
所以，
所以
 

． 

【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
利用余弦定理即可求得的值．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦函数公式可求的值．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意知，，下面对进行检验：
若，则，
对任意都有，
是奇函数，
，可得，
由，，解得，，
可得的单调递增区间为：，．
Ⅱ，可得，
，
，，
，可得，
因为的面积，
所以解得，
由Ⅰ利用正弦定理，
可得，；
所以
因为，，
可得．
所以，
即周长的取值范围是 

【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握三角形面积公式、正弦定理和三角恒等变换的相关公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题
Ⅰ由，知，再对进行检验即可，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间；
Ⅱ结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出，利用三角形的面积公式可求的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质即可求周长的取值范围．