2022-2023学年贵州省黔西南州金成实验学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省黔西南州金成实验学校高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

2.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数的零点所在的区间为，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，悬链线的函数解析式为，则下列关于的说法正确的是(    )

A. ，为奇函数 B. ，在上单调递增
C. ，在上单调递增 D. ，有最小值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中，是真命题的有(    )

A. 命题“”是“”的充分不必要条件
B. 命题：，，则：，
C. 命题“”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件

10.  设，，则下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若函数满足，，且，，，则(    )

A. 为偶函数 B.
C.  D. 若，则

12.  函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，则 ______ ．

14.  已知函数若对于，恒成立，则实数的取值范围为______ ．

15.  已知的值域为，那么的取值范围是______．

16.  已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知命题：函数有零点，命题：，．
若为真命题，求实数的取值范围；
若，中恰有一个真命题，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知函数，．
证明：；
证明：．

19.  本小题分
已知函数，且对任意的，恒成立．
若，，求函数的最小值；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ若函数在无零点，求实数的取值范围．

21.  本小题分
已知，，．
当时，求函数的极值；
当时，求证：．

22.  本小题分
已知函数．
讨论在上的单调性；
若对于任意，若函数恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
由集合元素的互异性知，
由，得，
实数的值是．
故选：．
利用子集定义直接求解．
本题考查子集定义等基础知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．

【解答】

解：，
当时，则，充分性成立，
当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法，属于基础题．
由题意知，解得，由此能求出函数的定义域．

【解答】

解：由题意知，要使函数有意义，
必有，

解得，
故该函数的定义域为，
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：函数是增函数，函数的零点所在的区间为，
可得，
解得．
故选：．
利用函数的单调性，结合零点判定定理，列出不等式求解即可．
本题考查函数零点判定定理的应用，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．

【解答】

解：，是椭圆：的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用图象解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．
由题意利用函数的单调性和图象，求出函数的交点，即可得到范围．

【解答】

解：令和
而函数 在其定义域上是减函数， 在其定义域上是增函数，如图所示，则交点，
故不等式 的解集为

故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
构造函数，
显然函数在上单调递增，
又，
，即，
，
故选：．
由对数函数的性质可知，，又，，所以构造函数，再利用函数的单调性比较，的大小即可．
本题主要考查了三个数比较大小，注意对数函数的单调性的应用，同时考查了构造函数的数学思想，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得的定义域为，，
为偶函数，故A错误；
令，则且随增大而增大，
此时，由对勾函数的单调性得单调递增，
根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确；
由选项A得在上单调递减，故C错误；
由选项B及对勾函数的性质得，故D错误．
故选：．
根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，当时，成立，
反之，当时，解得或，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于，命题：，为全称命题，其否定为特称命题，
即：，，B正确；
对于，推不出，因为时，，
当时，一定有且，
故命题“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于，解可得或，
故时，一定有成立，
当时，也可能是，不一定是，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确．
故选：．
根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断，，；根据全称命题的否定形式可判断．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，易知，，，
因为，所以，A错误，B正确；
选项，因为，，所以，D正确，
故，C正确．
故选：．
先根据基本不等式得到，又，，得到，．
本题考查了不等式的性质，基本不等式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解；由题意可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，
则在上单调递减，且的图象关于直线对称，
由偶函数图象的特征得A正确；
结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，，所以不正确；
对，，所以C正确；
对，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以不正确．
故选：．
先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断选项；
再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定选项．
本题考查了抽象函数的单调性、奇偶性，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，
所以，又当时，也符合题意，
所以，
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有，
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，故D正确．
故选：．
先得到，再假设为正整数，利用累乘法求出的解析式，再验证不为正整数时，也符合题意，利用的解析式容易判断，根据错位相减法求和可判断．
本题主要考查抽象函数的应用，考查错位相减法求和，是中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：，即
当时，，即
则或
故答案为或
先由对数函数的单调性求解集合，然后结合反比例函数的性质可求，即可求解
本题主要考查了对数函数、反比例函数的值域的求解，及集合的补集的求解，属于基础试题
 

14.【答案】 

【解析】解：恒成立，
则在恒成立，
因为在恒成立，
所以参变分离得到在恒成立，
，
所以．
恒成立，则在恒成立，参变分离得到在恒成立，求出在上最小值即可．
本题考查恒成立专题，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
要使函数的值域是，
则当时，，
即
即，即，
即实数的取值范围是，
故答案为：．
根据函数单调性与值域之间的关系，结合分段函数的关系进行转化求解即可．
本题主要考查函数值域的求解，结合分段函数的性质是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数与函数单调性的关系，考查函数的图象，属于中档题．
由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得出不等式的解集．
【解答】
解：由的图象特征可得，
在和上大于或等于，在上小于，
或或，
的解集为．
故答案为．  

17.【答案】解：若，无零点，舍去；
若，则，故，或，
所以，或，
综上，实数的取值范围为，．
若为真命题，则，，所以，
当真假时，有；
当假真时，有；
则，中恰有一个真命题时，的取值范围为，． 

【解析】分和两种情况讨论再取并集即可；
当为真时，可得，再分真假、假真分别求解，再取并集即可．
本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想、复合命题的真假，属于基础题．
 

18.【答案】证明：令，，
则，
当时，，
即函数在递减，
则，
故；
由知用代换得，再以代换得，
即，即，则．
令，，
因为，
所以，
即，
则． 

【解析】构造函数，由其单调性证明不等式；
利用得出，再由导数证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．
 

19.【答案】解：对任意的，恒成立，
对恒成立，
，即，解得：，
，，，
又当且仅当，即时取等号，
．
由得：，
即，
对任意的，不等式恒成立，
令，
则，解得：，
实数的取值范围为． 

【解析】问题转化为对恒成立，结合二次函数的性质求出的值，求出函数的解析式，结合基本不等式的性质求出的最小值即可；
问题转化为不等式在恒成立，令，结合二次函数根的分布得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及根的分布问题，考查转化思想，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是，无极大值；
Ⅱ，
，，
由得，，，，
在单调递增，，
当，即时，时，，
在单调递增，又，
故当时，函数没有零点；
当，即时，
由，得，故，
所以，，又，
故，使得，当时，，单调递减，
又，故当时，，
在内，函数没有零点，
又时，，单调递增，
且，
令，
，，
故在单调递增，又，
故时，，在单调递增，
故，故，
又，由零点存在定理可知，，，
故在内，函数有且只有个零点，
又在内，函数有且只有一个零点，
综上，，即的取值范围是． 

【解析】Ⅰ代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
Ⅱ求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
 

21.【答案】解：，令，得，
当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；当时，

故．
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
证明：【法一】显然，要证，
即证，即证，
即证．
令，故只需证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
【法二】显然．
要证，即证，即证，
令，则，
令，显然在上单调递增．
因为，，故必，使得，
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
故，
因为，所以，即，
故可得，从而，
即． 

【解析】分类讨论求解函数的极值即可．
法一：首先将问题转化为证明，令，即证，再构造函数，求其最小值即可证明．
法二：将问题转化为证明，令，判断的单调性，求出其最小值，进一步证明不等式成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用分析法证明不等式，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
 

22.【答案】解：，
，则；，则，
所以在单调递增，在单调递减．
令，有，
当时，，，，，不满足；
当时，，
令，
所以在恒成立，
则在单调递减，
，，
当，即时，，
所以在单调递减，
所以，满足题意；
当，即时，
因为在单调递减，，，
所以存在唯一，使得，
所以在单调递增，
所以，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为． 

【解析】运用导数研究函数的单调性即可．
令，分别讨论时，，时，存在一个，使得，时，恒成立即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．