备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（一）

这是一份备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（一），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题(共20分，填空题(共20分，解答题(共70分等内容，欢迎下载使用。
备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（一）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）复数的共轭复数是（    ）
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
2．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（    ）
A． B．
C． D．
3．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知正方体的棱长为1，它的所有顶点都球的表面上，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）若的平均数为2，方差为1，且 则的平均数和方差分别为（　　）.
A．3，2 B．3， 3 C．3，4 D．4，4
5．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192  907  966  925  271  932  812  458  569  683  
257  393  127  556  488  730  113  537  989  431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
6．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为（　　）米.
A． B．
C． D．

7．(本题5分)（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年度下期高二期中联考理科数学试题）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
8．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题(共20分
9．(本题5分)（2022春·湖北恩施·高一校联考期末）从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出40名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知65分以下的学生共16人，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．这40名学生的平均成绩约为66分
C．根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的中位数约为70分
D．根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的上四分位数约为77分
10．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）若，，则（    ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为

11．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）已知复数，是方程的两根，则（    ）
A． B．
C． D．
12．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（    ）
A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为
C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4

三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：
①若，则．
②若，则且．
③若，则．
④若，则．
其中正确的命题是__________．（填序号）．
14．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．

15．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．

16．(本题5分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知为球半径上的一点，且，过点作与所在直线成的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为____.

四、解答题(共70分
17．(本题10分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图①，在棱长为的正方体木块中，是的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.
18．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
(2)在这5个年龄组中，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人担任本市的“中国梦”宣传使者，已知甲（年龄38），乙（年龄41）两人已入选.若从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取2名分别作为正副领队，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率.




19．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图，在等腰直角三角形中,分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接

(1)证明：平面；
(2)在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值.

20．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）已知，
(1)若函数满足，求实数的值；
(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：
（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.






21．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8．

(1)若B=60°，求△ABC外接圆的半径R；
(2)设，若，求△ABC面积．




22．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形.

(1)求证：平面；
(2)设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？

备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（一）

一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）复数的共轭复数是（    ）
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
【答案】C
【分析】根据复数的除法求解，再分析共轭复数即可
【详解】，其共轭复数为
故选：C.
2．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法减法的三角形法则计算即可.
【详解】如图，

故选：B.
3．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知正方体的棱长为1，它的所有顶点都球的表面上，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意正方体的体对角线即为外接球的直径，利用勾股定理求出体对角线，即可求出外接球的表面积.
【详解】解：依题意正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，
所以，即，所以外接球的表面积；
故选：B.
4．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）若的平均数为2，方差为1，且 则的平均数和方差分别为（　　）.
A．3，2 B．3， 3 C．3，4 D．4，4
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的性质即可求解.
【详解】由 ，可知 ，
故选：C.
5．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192  907  966  925  271  932  812  458  569  683  
257  393  127  556  488  730  113  537  989  431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【答案】D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D.
6．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为（　　）米.

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，进而在直角三角形中求得．
【详解】解：在三角形中：，
由正弦定理得，，
在中，．
故选：A．
7．(本题5分)（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年度下期高二期中联考理科数学试题）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】解：中，由余弦定理得，，
且的面积为，
由，
得，
化简得；
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
因为
所以，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以；
设，其中，
所以，
又，所以时，取得最大值为，
时，，时，，且，
所以，即的取值范围是．
故选：．
8．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】球心O是的中点，球半径，取AB的中点D，可知，求得,利用勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而求得点P到底面的距离
【详解】∵三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径且，
∴球心O是的中点，球半径，
取AB的中点D，连接OD，OB，则，且
∵满足，，∴
，∴
又，平面，平面
所以点P到底面的距离为,
故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，利用线面垂直的判定定理证得平面，求出OD即可求出点到底面的距离.

二、多选题(共20分
9．(本题5分)（2022春·湖北恩施·高一校联考期末）从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出40名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知65分以下的学生共16人，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．这40名学生的平均成绩约为66分
C．根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的中位数约为70分
D．根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的上四分位数约为77分
【答案】ABD
【分析】A. 根据65分以下的学生共16人求解判断； B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数公式求解判断 D.利用四分位数定义求解判断.
【详解】由题意得，得，A正确；
由，得，
所以40名学生的平均成绩约为分，B正确；
设这40名学生成绩的中位数为x分，
则，得，C错误；
设这40名学生成绩的上四分位数为y分，则，得，D正确．
故选：ABD.
10．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）若，，则（    ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
【答案】AD
【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A、B、C，再根据投影向量的定义计算判断D；
【详解】解：因为，，所以，，，
所以，，则，，故A正确，B错误；
设与的夹角为，则，因为，所以，故C错误；
在方向上的投影向量为，故D正确；
故选：AD.
11．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）已知复数，是方程的两根，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】解方程可得与，进而判断各选项.
【详解】由，
得，，
故，A选项错误；
，，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：BD.
12．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（    ）

A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为
C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4
【答案】ABD
【分析】对A，根据轴截面分析即可；
对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；
对C，将圆台侧面展开，再计算即可；
对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可
【详解】对A，母线长为，故A正确；

对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B正确；
对C，由题意，侧面全展开的圆心角为，因为此时，但线段有小部分不在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误；

对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：
①若，则．
②若，则且．
③若，则．
④若，则．
其中正确的命题是__________．（填序号）．
【答案】④
【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断④作答.
【详解】如图，长方体中，平面为平面，

对于①，直线，直线分别为直线，满足，而与相交，①不正确；
对于②，令平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，②不正确；
对于③，令平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，③不正确；
对于④，因，则过直线作平面，令，如图，

于是得，而，则有，所以，④正确.
故答案为：④.
14．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．

【答案】解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=中，，而∠ADC=45°，,,答案应填．
【详解】试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，.
考点：本小题考查了解三角形的有关知识.
点评：在解三角形时，可以考虑构造直角三角形来解决这样解决起来方便，特别是涉及等腰三角形时，否则就按一般的解三角形的方法来求解.

15．(本题5分)（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________．

【答案】
【分析】根据给定的的图象，结合三角函数的性质，分别求得和的值，即可求解.
【详解】由题意，函数的部分图象，
可得，所以，
可得，即，
又由，
结合三角函数的五点对应法，可得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
16．(本题5分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知为球半径上的一点，且，过点作与所在直线成的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为____.
【答案】
【分析】过与已知截面圆圆心作球的截面，得大圆（即为球心），此截面截得已知截面的直径，的中点是已知截面的圆心，由球的性质得，则，由截面的性质求得截面圆半径与球半径的关系后可得面积比．
【详解】过与已知截面圆圆心作球的截面，得大圆（即为球心），此截面截得已知截面的直径，的中点是已知截面的圆心，
由球的性质得，则，
设球半径为，
，
已知截面圆半径为，
所以截面的面积与球的表面积的比为．
故答案为：．


四、解答题(共70分
17．(本题10分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图①，在棱长为的正方体木块中，是的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，将四棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解作答.
（2）取棱的中点，连接、、，证明平面平面即可作答.
【详解】（1）在正方体中，连接，如图，
且，则四边形为平行四边形，有，

三棱锥的体积，
所以四棱锥的体积.
（2）取棱的中点，连接、、，则就是所求作的线，如图：

在正方体中，连，因是的中点，为的中点，则，且，
于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面，
因此平面，又，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，于是有平面，
而，平面，从而得平面平面，
所以就是所求作的线.
18．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
(2)在这5个年龄组中，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人担任本市的“中国梦”宣传使者，已知甲（年龄38），乙（年龄41）两人已入选.若从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取2名分别作为正副领队，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率.
【答案】(1)32.25（岁），37.5;(2)
【分析】（1）利用百分位的定义以及平均数的计算公式求解即可.
（2）根据频率的分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四第五组的被抽到的使者，再利用古典概型公式进行计算即可.
（1）解：由题意得：设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，由，解得.
（2）第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.
19．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图，在等腰直角三角形中,分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接

(1)证明：平面；
(2)在翻折的过程中，当时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】（1）根据三角形和梯形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解.
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，.
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接.
因为分别为的中点，，
所以
又平面, 平面，所以平面，
同理可得，平面，
又平面，所以平面平面，
因为MN C平面，所以平面.
（2）因为在等腰直角三角形中所以，
在四棱锥中，
因为则
又平面，所以平面，
又平面，所以
因为则
所以，故，
所以以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设二面角所成角为，则
.
因为二面角的余弦值为.
20．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）已知，
(1)若函数满足，求实数的值；
(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：
（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.
【答案】(1);(2)（i）有零点，证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义,由，采用比较系数法,可解出a=1；
（2）（i）先判断出函数单调递增，利用零点存在定理即可求得；（ii）把题意转化为方程有根，求出在R上的值域，即可求得.
【详解】（1）因为，所以.
而，所以，解得：.
（2）（i）由（1）可得：.
因为在上为减函数，所以在上为减函数，
所以在上为增函数，所以在上为增函数.
又，
所以在上有唯一的零点0.
（ii）.
函数在R上有零点，即方程有根.
因为在R上为减函数，，所以.
由此可得：若函数在R上有零点，则的取值范围为.
【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
21．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8．

(1)若B=60°，求△ABC外接圆的半径R；
(2)设，若，求△ABC面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在△ABC中由余弦定理得，然后再根据正弦定理可求得外接圆的半径．（2）由条件可得，故得，设BD=，则DC=8，DA=8，在△ABD中由余弦定理得，进而，再由正弦定理得，于是可求得三角形的面积．
【详解】(1) 在△ABC中，由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得，
所以．
故△ABC外接圆的半径R为．
(2)由AD=CD，得∠DCA=∠DAC，
所以．
由，
得．
设BD=，则DC=8，DA=8.
在△ABD中，，
由余弦定理得，
得．
所以BD=3，DA=5，
由正弦定理得，即，
所以．
所以．
故．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时要弄清所求结论和条件的联系，然后再利用正弦定理或余弦定理进行转化求解，逐步探求得到所需的条件，进而达到求解的目的．
22．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形.

(1)求证：平面；
(2)设二面角的平面角为，求在区间变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得平面，通过线面平行的性质定理，证得，由此证得平面；
（2）画出为、时的投影，由此判断出线段在平面上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积；
（3）先求得三棱锥的面积为，通过分割的方法，得到，分别求得与的关系式，再由列方程，解方程求得的值.
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴．
而面，面，∴面．而面，面面，
∴∥．而面，面，
∴∥平面．
（2）∵，∴在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上．
如图所示，将补成边长为的正，
当二面角为角时，即点在平面上，此时为，
当二面角为角时，此时为中点，
故在平面上的投影所扫过的平面区域为，而，
故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为；

（3）取中点，连接OD，则，
又平面平面，平面平面，面，
则平面，平面．
所以，
是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，，所以，，根据勾股定理，∴．
所以．
而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半．
连接．设F到面AEH的距离为，C到面ABD的距离为 ，A到面DGH的距离为，A到面BCD的距离为，
，
∴．
，
∴．
∴，
∴，整理：，即，
解得：（舍去）．