福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷(一)数学试卷(解析版)

这是一份福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷(一)数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，面积为.
故选：A.
3. 已知是锐角，，，且，则为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 30°或60°
【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，求得，，
由是锐角，所以.
故选：B.
4. 在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
，
由正弦定理可得：，．
故选：C．
5. 从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. 至少有一个是奇数和两个都是奇数B. 至少有一个是奇数和两个都是偶数
C. 至少有一个奇数和至少一个偶数D. 恰有一个偶数和没有偶数
【答案】D
【解析】从1，2，3，4，5中任取两个数，
对于A，至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，
所以A错误；
对于B，至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥，且为对立事件，所以B错误；
对于C，至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，
所以C错误；
对于D，恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数，
所以两个事件互斥且不对立，所以D正确.
故选：D.
6. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意侧棱长为，所以表面积为：．
故选：A.
7. 利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；
两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；
根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.
故选：B.
8. 已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（ ）．
A. 10，11B. 10.5，9.5C. 10.4，10.6D. 10.5，10.5
【答案】D
【解析】由于样本共有10个值，且中间两个数为，，
依题意，得，即，
因为平均数为，
所以要使该样本的方差最小，只需最小，
又，
所以当时，最小，此时．
故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【解析】对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，
所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，
而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，
所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），
（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
10. 对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B. 若A＞B，则sin A＞sin B
C. 若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D. 若三角形ABC为斜三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，
所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，
所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以，
因为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
11. 设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
【答案】ACD
【解析】，
∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确；
选项B：在复平面内对应点在第三象限，有解得，故错误；
选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，
故正确；
选项D：时，有，即，故正确.
故选：ACD.
12. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（ ）
A. AG⊥平面EFHB. AH⊥平面EFH
C. HF⊥平面AEHD. HG⊥平面AEF
【答案】BC
【解析】由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF，
∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直，∴B正确，A不正确；
又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确；
HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确，D不正确.
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
【答案】0.4
【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4.
故答案为；0.4.
14. 已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；
【答案】
【解析】由题意 ，即，，∴，
若，则，解得，
综上的范围是．
故答案为：．
15. 设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【答案】
【解析】设，(，且)，
则原方程变为，
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，
代入①得，，所以，
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：.
16. 在中，分别是角所对的边.若，的面积为，则的值为______
【答案】
【解析】由，的面积为，
得，所以，
则，所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.）
17. 已知向量，，.
（1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
解：（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
，，故知，
∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，
∴，解得.
18. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都投中；
（2）恰好有一人投中；
（3）至少有一人投中.
解：设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由已知可得，，则，；
（1）“两人都投中”，则.
（2）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
.
（3）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
19. 某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数.
（2）求月平均用水量的中位数及平均数；
（3）在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？
（4）在第（3）问抽取的样本中，从这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？
解：（1）根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，
解得x=0.075；由图可知，最高矩形的数据组为[6，8)，所以众数为.
（2）[2，6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；
设中位数为y，则0.45+(y−6)×0.125=0.5，
解得y=6.4，∴中位数为6.4；
平均数为.
（3）月平均用电量为的用户在四组用户中所占的比例为
，
∴月平均用电量在的用户中应抽取22×=4(户).
（4）月平均用电量在的用户中应抽取22×=2(户)，
月平均用电量在的用户设为A、B、C、D，
月平均用电量在的用户设为e，f，
从，这两组中随机抽取2户共有：
，15种情况，
其中，抽取的两户不是来自同一个组的有，8种情况，
所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为.
20. 在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
解：（1）由题意知，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又.
（2）
，
则的周长
，
，
，
周长的取值范围是.
21. 如图，在中，，，，，.
（1）求的长；
（2）求的值．
解：（1），，，
，，，，
.
（2），，
，
.
22. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
解：（1）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：
因为F、G分别为CD、CE的中点，所以且，
又因为平面，平面，所以，，
所以，，所以四边形ABGF为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，平面ACD，所以，所以，
又为等边三角形，F为CD的中点，所以，
又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，
又平面CDE，则，
连接DG，BD，如图所示，
则即为直线和平面所成角，
设，在中，，
在直角梯形ABED中，，
在中，，所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为.