备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（一）

这是一份备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（一），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（一）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）
A． B． C． D．
3．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
4．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
5．(本题5分)（广东省广州市为明学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．
6．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（    ）．
A． B． C． D．

7．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（    ）
A．若，，，则直线与可能相交或异面
B．若，，，则直线与一定平行
C．若，，，则直线与一定垂直
D．若，，，则直线与一定平行
10．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）下列说法正确的是（    ）
A．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；
B．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；
D．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．
11．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，在四边形中， ，，，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（    ）

A．始终有；
B．当平面平面时，平面平面
C．当平面平面时，直线与平面成角；
D．当二面角的大小为时，三棱锥外接球表面积为π．
12．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（    ）

A． B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9] D．AD的最大值为
三、填空题(共20分)
13．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）圆锥的母线长为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为______．
14．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______．

15．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______．
16．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）在中，，，，则______.




四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）设复数，当为何值时.
（1）是实数？
（2）是纯虚数？




18．(本题12分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．




19．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）正三棱柱中，，，点分别为的中点．

(1)求证：面；
(2)求三棱锥的体积．



20．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．

(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
(2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
(3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．












21．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．

(1)求证：平面⊥平面；
(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．




22．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．

(1)当，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段最长并求最长值


备战2022-2023学年重庆高一（下）学期期末数学仿真卷（一）
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点
【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.
故选：D.
2．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.
【详解】解：由题知，，，
所以，的平均数为，
的方差分别.
故选：D .
3．(本题5分)（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）设，为两个平面，则的充要条件是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
4．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，Ü，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，Ü，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C.
5．(本题5分)（广东省广州市为明学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直观图可确定平面图形是以和为直角边的直角三角形，由此可求得结果.
【详解】，，，，
由此可知平面图形是如下图所示的，

其中，，，
.
故选：D.
6．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一校考期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得，所以，
结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.
故选：B.
7．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.
【详解】解：由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：

当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，
故选：B.
8．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：

由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（    ）
A．若，，，则直线与可能相交或异面
B．若，，，则直线与一定平行
C．若，，，则直线与一定垂直
D．若，，，则直线与一定平行
【答案】BCD
【分析】根据线面平行垂直的判定和性质逐个分析即可
【详解】是两条不同的直线，是两个不同的平面，
对于A，若，，，则直线与相交垂直或异面垂直，故A正确；
对于B，若，，，则直线与相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若，，，则直线与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，，则直线与相交、平行或异面，故D错误.
故选：BCD.
10．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）下列说法正确的是（    ）
A．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；
B．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；
D．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．
【答案】ABD
【分析】根据分层抽样的计算规则分析A选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD选项.
【详解】选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；
选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；
选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，
方差.C错误；
选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.
故选：ABD.

11．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，在四边形中， ，，，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（    ）

A．始终有；
B．当平面平面时，平面平面
C．当平面平面时，直线与平面成角；
D．当二面角的大小为时，三棱锥外接球表面积为π．
【答案】BCD
【分析】在平面平面的情况下，易证平面，利用反证法推出A错误；通过面面垂直判定定理可得B正确；找出直线与平面所成角为即可判断C正确；通过找出棱锥外接球的球心应在过点与平面垂直的直线上，并通过运算求出球半径，再求出三棱锥外接球表面积为，可判定D正确.
【详解】在四边形中，由已知可得：,.
当平面平面时,平面平面且，因此可得：平面.又平面,所以.因为，点，平面，平面，平面，可得平面.
若假设，又，则平面,可得，与点矛盾，故A错误；
又平面，可得平面平面，故B正确；
由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确;

分别取中点，连接,延长过作，由已知易得：为二面角的平面角为，平面，可求得：，，，
又，易知三棱锥外接球的球心应在过点与平面垂直的直线上，过作平面，且为球心，过作，则，，
设为，半径为,
则在中：
在中：解得，
因此可得到三棱锥外接球表面积，故D正确.
故选：BCD.
12．(本题5分)（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（    ）

A． B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9] D．AD的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理可判断A；在中利用余弦定理求，再在中，由余弦定理得OD，然后由勾股定理可判断B；利用正弦定理将△ABC周长转化为三角函数，然后求值域可判断C；数形结合可判断D.
【详解】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；
连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；
△ABC周长

因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，
所以，所以，故C错误；
易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确.
故选：ABD.

三、填空题(共20分)
13．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）圆锥的母线长为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【分析】根据线面角的定义，结合圆锥体积公式进行求解即可.
【详解】圆锥的轴截面如下图所示：则该圆锥的高为，底面半径为，
因为圆锥的母线长为1，母线与底面所成的角为，
所以在直角三角形中，，
所以该圆锥的体积为：，
故答案为：.

14．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______．

【答案】20
【分析】这是解三角形的应用问题，利用正弦定理解三角形即可.
【详解】在中，，，
所以，又，
在中，由正弦定理有：
，解得BC=
在直角中，因为，所以
.  
故答案为：20.
15．(本题5分)（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为______．
【答案】
【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可.
【详解】如下图所示：，
所以，
所以该四棱台的表面积为：，
故答案为：.

16．(本题5分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）在中，，，，则______.
【答案】
【解析】利用二倍角的余弦公式可计算出的值，再利用余弦定理可求得边的长.
【详解】由二倍角的余弦公式得，
由余弦定理得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）设复数，当为何值时.
（1）是实数？
（2）是纯虚数？
【答案】(1)m=2或m=-1;(2)m=3
【详解】试题分析：（1）若使是实数，只需，即可；
（2）若使是纯虚数，只需
试题解析：
（1)要使复数z为实数，需满足
.
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
.
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本题12分)（2022春·重庆巫山·高一重庆市巫山大昌中学校校考期末）已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.
试题解析：（1）

（2）由（1）得,
所以 .
19．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）正三棱柱中，，，点分别为的中点．

(1)求证：面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，可证得平面，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.
（1）取中点，连接，

分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）取中点，连接，

三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
20．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．

(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
(2)估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
(3)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
【答案】(1)中位数是，第80百分位数为；(2)；(3)
【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解；
（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；
（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，
∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为．
所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.
（2）由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：
．
（3）甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．
记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，
∴．
所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.
21．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．

(1)求证：平面⊥平面；
(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）通过证明可得，同理可得，即可证明平面，得出答案；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
(1)由题，平面，所以，
因为底面为菱形，，，所以，
在中，，，∴，
因此，是中点，可得：，
同理：，∵，∴平面，
又因为平面，所以平面平面．
(2)以，，分别为，，轴建系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，即， 可取，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
所以，
设二面角的平面角为，∴．

22．(本题12分)（2022春·重庆·高一校联考期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．

(1)当，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段最长并求最长值
【答案】(1)平方百米；(2)当时，的最大值为3百米
【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；
（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.
【详解】（1）由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
（2）在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：

．
∵，∴当时，的最大值为3百米．