2021北京清华附中初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京清华附中初一（下）期末数学（教师版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

2021北京清华附中初一（下）期末
数 学（创新班）
一、选择题（共20分，每题2分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 医疗废物 B. 中国红十字会
C. 医疗卫生服务机构 D. 国际急救
2. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A. a≥6 B. ﹣8＜a≤6 C. a＞6 D. a≤﹣8或a≥6
3. 下列运算正确是（　　）
A. （﹣x3）2＝x6 B. ＝x
C. （﹣x）2+x＝x3 D. （﹣1+x）2＝x2﹣2x
4. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A. ﹣＝1 B. ﹣＝1
C. ﹣＝50 D. ﹣＝50
5. 如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子一定成立的是( )

A. AC⊥BD B. AO=OD C. AC=BD D. OA=OC
6. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）

图2
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
9. 如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )

A. a B. a C. D.
10. 如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（ ）

A B. C. D.
二、填空题（共16分，每题2分）
11. 16的算术平方根是___________．
12. 要使代数式有意义，则x的取值范围为 ___．
13. 比较大小：___（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
14. 方程＝的解为x＝___．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是___________．

16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ___．

17. 如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．

18. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．

三、解答题（共64分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 代数计算：（1）求值：；
（2）求值：92+|1﹣|﹣2﹣1×；
（3）化简：；
（4）化简：•；
（5）求解：；
（6）求解：﹣＝1．
20. 在图中，先把△ABC向右平移4个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并标明三个顶点的字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，请说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．

21. 在△ABC中，D为BC边中点，DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线．
（1）请比较MN与BM+CN的大小关系，并证明；
（2）当∠BAC＝90°时，BM＝2，CN＝，求MN长度．

22. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．

（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，求的长．
23. 在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动路线长．

四、附加题（共20分）
24. 若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．
（1）100 　 　“方和数”，110 　 　“方和数”；（填写“是”或“不是”）
（2）以下两个判断，正确选项的序号是 　 　．
①两个“方和数”的和是“方和数”； ②两个“方和数”的积是“方和数”．
25. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成矩形OMPN，当这个矩形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的2倍时，称点P是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．
（1）点P1（1，2），P2（2，﹣2），P3（，﹣1）中，是“幸福点”的点为 　 　；
（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标：　 　．
26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E，F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x＝0时，折痕EF长为 　 　；
（2）使四边形EPFD为菱形的x的取值范围是 　 　．

27. 如图，C是线段AB上一个动点，且△ACD，△BCE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，AB＝4，设AC＝x．
（1）BN＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）线段MN最小值为 　 　．

28. 在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　．



参考答案
一、选择题（共20分，每题2分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 【答案】A
【解析】
【分析】根据解不等式组的方法和题意，可以得到a的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a≥6，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组无解情况是大大小小无解了．
3. 【答案】A
【解析】
【分析】利用幂的乘方，二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式法则依次对选项进行运算可得．
【详解】解：（-x3）2=x3×2=x6，∴A符合题意；
=|x|，∴B不符合题意；
（-x）2+x=x2+x，x2与x不是同类项，不能合并，∴C不符合题意；
（-1+x）2=x2-2x+1，∴D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x-50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x-50）台机器，
根据题意，得-＝1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．
5. 【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：A、菱形的对角线才相互垂直．故不对．
B、平行四边形中，AO不一定等于OD，故不对．
C、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等，故也不对．
D、平行四边形对角线互相平分．故该选项正确．
故选D．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，
∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，
∴A到D也应向右移动4个单位长度，
∵点A的坐标为(0，1)，
则点D的坐标为(4，1)，
故选:C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．
7. 【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形

如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，


是等边三角形



故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
8. 【答案】A
【解析】
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形



四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，

又

(AAS)



四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，

又分别平分
， 即
（ASA）



四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴=CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=a.
故选C.
【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
10. 【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB 在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，

同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（共16分，每题2分）
11. 【答案】4
【解析】
【详解】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
12. 【答案】x＞1
【解析】
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件得出x的取值范围．
【详解】解：∵要使式子有意义，
∴x-1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
13. 【答案】
【解析】
【分析】比较与的大小即可．
【详解】解：，，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查实数的大小比较，会用平方法比较实数的大小是解题的关键．
14. 【答案】x=-3
【解析】
【分析】观察方程可得最简公分母是：x（x-3），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
【详解】解：方程两边同乘以x（x-3），
得2x=x-3，
解得x=-3．
经检验：x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，一定注意要验根．
15. 【答案】
【解析】
【分析】根据平移的坐标变化规律和关于x轴对称的点的坐标特征即可解决．
【详解】解：∵点A（-1，2）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，2）．
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（1，-2）．
故答案为：（1，-2）
【点睛】本题考查了平移、关于坐标轴对称等知识点，熟知平移时点坐标变化规律和关于正半轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
16. 【答案】4
【解析】
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再由勾股定理求得BE的长即可．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC=3，
∵BD=5，
∴BE==4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
17. 【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．
【详解】∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
又∵点F是BE的中点，，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是的中位线，
∴GH=BE=×6=3，
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．
18. 【答案】5
【解析】
【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF求解．
【详解】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，

由旋转的性质可知CD=ED，
∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，
∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°，
∴△CDF≌△EDG，∴CF=EG，
∵S△ADE=AD×EG=3，AD=2，
∴EG=3，则CF=EG=3，
依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF=AD=2，
∴BC=BF+CF=2+3=5．
故答案为5．
三、解答题（共64分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19 【答案】（1）；（2）80；（3）；（4）；（5）2＜x＜4；（6）
【解析】
【分析】（1）先分别化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先分别计算有理数的乘方，化简绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，然后再计算；
（3）先计算小括号里面的，然后计算括号外面的；
（4）先算乘法，然后再算计算；
（5）先分别求每个不等式的解集，然后取两个不等式解集的公共部分作为不等式组的解集；
（6）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式

；
（3）原式

；
（4）原式



；
（5），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为；
（6）整理，得：，
方程左右两边同时乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【点睛】本题考查分式的混合运算，二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，解分式方程，掌握分式混合运算和二次根式混合运算的计算法则，解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题关键．
20. 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平移变换，旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）能．△ABC绕点P顺时针旋转90°可以得到△A1B1C1．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心．
21. 【答案】（1）BM+CN＞MN，理由见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，由“SAS”可证△CDN≌△BDH，可得BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，由线段垂直平分线的性质可得MN=MH，由三角形的三边关系可求解；
（2）先证明∠ABH=90°，在Rt△BHM中，由勾股定理可求MH的长，即可求解．
【详解】解：（1）BM+CN＞MN，
理由如下：如图，延长ND到H，使ND=DH，连接MH，BH，

∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△CDN和△BDH中，
，
∴△CDN≌△BDH（SAS），
∴BH=CN，DH=DN，∠ACB=∠DBH，
∵DM，ND分别是∠ADB，∠ADC的内角平分线，
∴∠ADM=∠ADB，∠ADN=∠ADC，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°，
∴MH=MN，
在△BMH中，BM+BH＞MH，
∴BM+CN＞MN；
（2）∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠DBH=90°，
∴∠HBM=90°，
∵BM=2，BH=CN=，
∴MH==3，
∴MN=MH=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22. 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
根据旋转：
∵四边形是正方形
∴∠DAB=90°
∴∠FAE＝∠DAB=90°
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴矩形是正方形．
（2）连接

∵，
在中，
∵四边形是正方形
∴
在中，，又，
∴．
故答案是17．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）欲证明PE=PF，只要证明∠PEF=∠PFE．
（2）连接AC交EF于O，连接PM，PO．首先证明P，M，O共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点过程中，点G运动的路径是图中弧BC，结合圆心角的度数计算即可．
【详解】解：（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF．
（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AE=CF，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵PE=PF，
∴PO平分∠EPF，
∵PE=PF，AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF，
由折叠的性质可知ED=EH，所以BF=EH，
∴PE-EH=PF-BF，
∴PB=PH，
∵∠PHM=∠PBM=90°，PM=PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P，M，O共线，
∵PO⊥EF，OE=OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．
（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．

∵AB=CD=5，
∴BC=CD=，
∴BD=，
.∴∠CBD=30°，
∴∠ABO=∠OAB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOC=120°，OB=OC=5，
∴点G运动的路径的长为=．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
四、附加题（共20分）
24. 【答案】（1）是，不是；（2）②
【解析】
【分析】（1）根据“方和数”的概念计算求解；
（2）①举反例进行分析说明；
②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．
【详解】解：（1）100=36+64=62+82，
∴100是“方和数”，
110不能写成两个正整数的平方和的形式，
∴110不是“方和数”，
故答案为：是，不是；
（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，
比如：2=12+12，13=22+32，
∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，
而15不能写成两个正整数的平方和的性质，
∴15不是“方和数”，故①错误；
②设两个方和数分别为m，n，
设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d均为正整数），
∴mn=（a2+b2）（c2+d2）
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd-2abcd
=（ac+bd）2+（ad+bc）2，
∴mn是“方和数”，故②正确，
故答案为：②．
【点睛】本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．
25. 【答案】（1）P2；（2）（-4，）或（，4）
【解析】
【分析】（1）根据“幸福矩形”的意义直接判断即可得出结果；
（2）根据“幸福矩形”的意义和矩形面积建立方程即可得出结果．
【详解】解：（1）∵P1（1，2），
∴（1+2）×2=6，1×2×2=4，
∵6≠4，
∴点P1（1，2）不是“幸福点”，
∵P2（2，-2），
∴（2+2）×2=8，2×2×2=8，
∴点P2（1，2）是“幸福点”，
∵P3（，-1），
∴（+1）×2=3，×1×2=1，
∴P3（，-1）不是“幸福点”，
故答案为：P2；
（2）设“幸福点”的坐标为（a，b），
∵“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，
∴（-a+b）×2=×2，-ab=，
解得：a=-4，b=或a=，b=4，
故答案：（-4，）或（，4）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的周长、面积的计算方法及理解新定义和应用新定义的能力，关键是理解新定义，用方程的思想解决问题．
26. 【答案】（1）3；（2）1≤x≤3
【解析】
【分析】（1）当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为3，当点E与点A重合时，画出符合要求的图形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，四边形EPFD为菱形的x，AE=2-x，利用勾股定理得出答案．
【详解】解（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
故答案为：3．
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长．
当点E与点A重合时，
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DEF=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=，
∴折痕EF的长为，
EF最长为，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，
∴1≤x≤3．
【点睛】此题主要考查了折叠前后对应关系和勾股定理的应用，根据已知条件得出对应线段与对应角之间的关系是解决问题的关键．
27. 【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，即可求解．
（2）首先证明，利用勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：（1），，
，
是等边三角形，
，
是中点，
，
故答案为：；
（2）连接，

和为等边三角形，
，，，
，
是的中点，
，，
，
，．
，，
，
当时，的值最小为，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，利用表示的长是解题的关键．
28. 【答案】①；②
【解析】
【分析】①过作于，先证明是等边三角形，求出长度，再证明，从而在中，求出，即得，在中，求出和，可得，中，即可得到；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，由，得、、、共圆，可得，从而可证，由、、、共圆可得，故，，可得，，在中，，中，，即可得到，进而可得结论．
【详解】解：①过作于，如图：

线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，
，，
是等边三角形，
，，
等边，，，
，，，
，
，
，
，
中，，，
，
，
中，，
，
，
，
中，；
故答案为：；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：

绕点逆时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
、、、共圆，
，
而是等边三角形，，
，即，
，
，
①，
，，
，，
，
、、、共圆，
，
，，
，
②，
而③，
由①②③得，
，
，中点，，
，
，
，
中，，
，
，即，
中，，
中，，
，
，
则．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，是中考题的压轴题，考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、含30度角的直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．