2021北京师大附中初一（上）期中数学（教师版）

2021北京师大附中初一（上）期中

数    学

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）的相反数是　　

A．2 B． C． D．

2．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入使用，新机场的运行将进一步满足北京地区的航空运输需求，增强国家民航竞争力，促进南北城区的均衡发展和京津冀协同发展．根据规划，2022年大兴国际机场客流量将达到4500万人次．4500用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（3分）若是关于的方程的解，则的值为　　

A． B．0 C．1 D．

4．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点向右移动5个单位长度到点，此时点表示的数是　　

A．2 B． C．8 D．

6．（3分）下列等式变形正确的是　　

A．如果，那么 B．如果，那么 

C．如果，那么 D．如果，那么

7．（3分）下列比较两个有理数的大小正确的是　　

A． B． C． D．

8．（3分）下列各式中，去括号正确的是　　

A． B． 

C． D．

9．（3分）把方程去分母正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为　　

A．4，6，12 B．4，6 C．2，0 D．2，0，

二、填空题（每空2分，共20分）

11．（2分）绝对值等于2的数是　 　．

12．（2分）在一次立定跳远测试中，合格的标准是，小明跳出了，记为；小敏跳出了，记为 　　．

13．（2分）如果单项式与是同类项，那么的值是　　．

14．（2分）用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为　 　．

15．（2分）已知多项式是三次三项式，则　　．

16．（2分）若与互为相反数，则的值为 　　．

17．（4分）用“△”定义新运算：对于任意有理数、，当时，都有△；当时，都有△，那么，2△　　；　　．

18．（4分）我们知道，，

因此关于的方程的解是 　　；

当于的方程的解是 　　（用含的式子表示）．

三、计算题（每小题4分，共16分）

19．（4分）计算：．

20．（4分）计算：．

21．（4分）计算：

22．（4分）．

四、化简求值（每小题4分，共12分）

23．（4分）化简：．

24．（4分）先化简，再求值：已知，求的值．

25．（4分）已知，求的值．

五、解方程（每小题4分，共12分）

26．（4分）解方程：．

27．（4分）解方程：

28．（4分）．

六、探究题（每小题5分，共10分）

29．（5分）对于任意有理数，，定义运算：，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，；．

（1）求的值；

（2）对于任意有理数，，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕，写出你定义的运算：⊕　　（用含，的式子表示）．

30．（5分）一般情况下，对于数和，，但是对于某些特殊的数和，．我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作，．例如当，时，有，那么，就是“理想数对”．

（1），是不是“理想数对”？　　 （填“是”或“不是”

（2）如果，是“理想数对”，那么　　；

（3）若，是“理想数对”，求的值．

七、解答题：（本大题共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，第3小题7分，共20分）

31．（6分）如图，在数轴上有，两点，且，点表示的数为6；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒．

（1）写出数轴上点表示的数是　　；

（2）当时，线段的长是　　；

（3）当时，则线段　　；（用含的式子表示）

（4）当时，求的值．

32．（7分）数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，例如，并把常数时多项式的值用（a）来表示，例如时多项式的值记为（1）．

（1）若规定．

①的值是 　　；

②若，的值是 　　；

（2）若规定，；

①有没有能使成立的的值，若有，求出此时的值，若没有，请说明理由．

②直接写出的最小值和此时满足的条件．

33．（7分）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．

（1）已知关于的方程：①，②，

以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？

请直接写出正确的序号是 　　．

（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．

（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．

2021北京师大附中初一（上）期中数学

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数，再与每个选项比较得出答案．

【解答】解：由相反数的意义得，的相反数是2，

故选：．

【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：将4500用科学记数法表示为，

故选：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3．【分析】根据方程的解的定义，把代入方程即可求出的值．

【解答】解：是关于的方程的解，

，

解得：．

故选：．

【点评】本题的关键是理解方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

4．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：、原式，不符合题意；

、原式，不符合题意；

、原式，不符合题意；

、原式，符合题意，

故选：．

【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．【分析】首先根据点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，可得点表示的数是；然后根据数轴上“右加左减”的规律，用点表示的数加上5，求出点表示的数是多少即可．

【解答】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，

点表示的数是

将点向右移动5个单位长度到点，

此时点表示的数是：

．

故选：．

【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在数轴上，向右为正，向左为负．

6．【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：如果，那么，故选项错误；

如果，那么，故选项错误；

如果，那么，故选项正确；

如果，那么，故选项错误；

故选：．

【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．

7．【分析】根据负数的绝对值越大，这个数反而越小，可以对、、进行判断；根据同分子分数大小比较的方法进行比较即可作出判断．

【解答】解：、，所以选项错误；

、，所以选项错误；

、，所以选项错误；

、，所以选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．

8．【分析】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．

【解答】解：、故不符合题意；

、，故不符合题意；

、，故符合题意；

、，故不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．

9．【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．

【解答】解：把方程去分母得：，

故选：．

【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时各项都要乘以各分母的最小公倍数．

10．【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出的值即可．

【解答】解：方程去括号得：，

移项合并得：，

解得：，

由为正整数，得到，0，

故选：．

【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

二、填空题（每空2分，共20分）

11．【分析】根据绝对值的意义求解．

【解答】解：，，

绝对值等于2的数为．

故答案为．

【点评】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．

12．【分析】明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过标准的一个为正，则另一个不到标准的就用负表示，即可解决．

【解答】解：“正”和“负”相对，所以小明跳出了，比标准多，记为，小敏跳出了，比标准少，应记作．

故答案为：．

【点评】考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．概念：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．

13．【分析】根据同类项的概念列式求出，，根据乘方法则计算即可．

【解答】解：由题意得，，，

解得，，，

则，

故答案为：4．

【点评】本题考查的是同类项的概念，有理数的乘方，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．

14．【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．

【解答】解：（精确到．

故答案为3.89．

【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

15．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有个单项式，次数是，那么这个多项式就叫次项式进行分析即可．

【解答】解：由题意得：，，

则．

故答案为：8

【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义．

16．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：与互为相反数，

，

又，，

，，

解得，，

．

故答案为：9．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

17．【分析】根据当时，都有△；当时，都有△，可以计算出所求式子的值．

【解答】解：，

△6

，

，

，

故答案为：24，．

【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会运用新定义解答问题．

18．【分析】先化简，再合并同类项，最后将的系数化为，进而解决此题．

【解答】解：，

．

．

．

．

，

．

．

．

．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．

三、计算题（每小题4分，共16分）

19．【分析】先把算式化为省略加号和的形式，再把正数、负数分别相加．

【解答】解：原式

．

【点评】本题考查了有理数的加减，掌握加法、减法法则是解决本题的关键．

20．【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．

【解答】解：原式．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．【分析】根据乘法分配律和有理数的加减法可以解答本题．

【解答】解：

．

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

22．【分析】先去括号、绝对值后再从左向右进行计算．

【解答】解：原式．

【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．解题的关键是能灵活掌握去括号法则，并能求任何数的绝对值．

四、化简求值（每小题4分，共12分）

23．【分析】先找出同类项，再合并同类项．

【解答】解：原式

．

【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．

24．【分析】原式去括号整理后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：，

又，

，

原式．

【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

25．【分析】首先去括号，合并同类项，化简后，再根据条件可得，再代入求值即可．

【解答】解：，

，

；

，

，

原式．

【点评】此题主要考查了整式的化简求值，关键是正确把整式进行化简．

五、解方程（每小题4分，共12分）

26．【分析】通过去分母、移项、合并同类项、的系数化为解决此题．

【解答】解：，

．

．

．

【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．

27．【分析】这是一个带括号的方程，所以要先去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．

【解答】解：去括号得：，

移项、合并同类项得：，

系数化为1得：．

【点评】本题考查了解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项和系数化为1，在去括号时一定要注意：不要漏乘方程的每一项．

28．【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数10，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．

【解答】解：去分母得：

去括号得：

合并得：

系数化为1得：．

【点评】注意在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项

六、探究题（每小题5分，共10分）

29．【分析】（1）根据，可以求得题目中所求式子的值；

（2）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．

【解答】解：（1），

；

（2）⊕，

⊕，

故答案为：．

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

30．【分析】（1）根据“理想数对”的运算法则进行计算判断；

（2）根据“理想数对”的运算法则列方程求解；

（3）先将原式进行去括号，合并同类项化简，然后利用“理想数对”的概念列式化简求得与的等量关系，从而利用整体思想代入求值．

【解答】解：（1）当，时，

，

，

，

，是理想数对，

故答案为：是；

（2），是“理想数对”，

，

解得：，

故答案为：；

（3）原式

，

，是“理想数对”，

，

整理，得：，

原式

．

【点评】本题考查整式的加减——化简求值，理解新定义运算法则，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．

七、解答题：（本大题共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，第3小题7分，共20分）

31．【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点表示的数；

（2）先求出当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为，再根据两点间的距离公式即可求出的长；

（3）先求出当时，点对应的有理数为，再根据两点间的距离公式即可求出的长；

（4）由于秒时，点对应的有理数为，点对应的有理数为，根据两点间的距离公式得出，根据列出方程，解方程即可求解．

【解答】解：（1）．

故 数轴上点表示的数是14；

（2）当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为，

．

故线段的长是4；

（3）当时，点对应的有理数为，

故；

（4）根据题意可得：

，

解得：或．

故的值是4或8．

故答案为：14；4；．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．

32．【分析】（1）①将的值代入求值．

②通过解一元一次方程解决此题．

（2）①根据绝对值的性质解决此题．

②通过绝对值的意义解决此题．

【解答】解：（1）①当，．

故答案为：．

②当，则．

．

故答案为：5．

（2）①若，则．

或．

当，此时不存在；

当，此时．

综上：当时，．

②，，

．

表示在数轴上对应的点到2在数轴上对应的点的距离，

表示在数轴上对应的点到在数轴上对应的点的距离，

当时，取最小值5．

【点评】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握一元一次方程的解法、绝对值是解决本题的关键．

33．【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解出和，根据“友好方程”的定义判断即可；

（2）解出得解，再解出的解是，分类讨论，令，即可求出的值；

（3）先解出一元一次方程的解，再根据表示出，将代入到方程中化简即可．

【解答】解：（1）的解为，

方程的解是，；故不是“友好方程”；

方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，

故答案是：②

（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，

若，，则，解得；

若，，则，解得；

答：的值为97或95．

（3），解得，

，

；

；

；

即．

分母不能为0；

，即；

；

答：的值为16．

【点评】本题考查解一元一次方程，理解题目定义中的“友好方程”是解题的关键，再通过解一元一次方程的方法求解．