专题01 数列（专题练习）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题01 数列【专项训练】

一、单选题

1．记为等差数列的前项和，若，．则数列的通项公式（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设公差为，则,

解得,

所以.

故选：B.

2．在等比数列{an}中，a2021＝－8a2018，则公比q等于（    ）

A．2 B．－2

C．±2 D．

【答案】B

【详解】

因为数列{an}为等比数列，

所以，解得q＝－2.

故选：B

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设等差数列{an}的公差为d，

∵，显然，

∴，

故选：A

4．已知数列中，，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵，，

∴，，，，

而，∴数列是以4为周期的周期数列，

∴.

故选：C.

5．已知数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，若m＞n，则Sm﹣Sn的最大值是（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】B

【详解】

解：依题意，，

所以要使的值最大，则包含所有的正项，

令，得，

代入得.

故选：B．

6．某人于年月日去银行存款元，存的是一年定期储蓄，年月日将到期存款的本息一起取出再加元之后还存一年定期储蓄，此后每年的月日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率不变，则到年月日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（    ）

A．元

B．元

C．元

D．元

【答案】D

【详解】

设年存入银行的存款为元，年存入银行的存款为元，以此类推，则年存入银行的存款为元，那么年从银行取出的钱有元．

，，，…，

，

.

故选：D.

7．在等比数列中，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=，a2a3==-，

故选：D

8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为和，且＝，则的值为（    ）

A．2 B．

C．4 D．5

【答案】C

【详解】

∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，

∴.

故选：C．

9．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，

对任意的，都有成立，即，即，

又数列是首项为，公差为1的等差数列，

，且是单调递增数列，当时，，

，即，解得.

10．已知数列的前项和为，，，且，若对任意都成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【详解】

解：数列的前n项和为，，，且，

所以，

故，

因为，所以，

所以，，，，

则，

故，

所以，

所以，

因为对任意都成立，

所以．

设，则，

当时，，当时，，

因此

即，故的最小值为．

故选：C

二、解答题

11．已知数列的通项公式为，且，求和.

【详解】

代入通项公式中，得，即，解得：，

，

12．设等差数列{an}满足a3=﹣9，a10=5.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.

【详解】

（1）,

所以.

(2)由(1)知，

所以，

，

,

由二次函数的性质得当时,使得Sn最小.

13．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．

（1）写出此数列的前5项；

（2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．

【详解】

（1）∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，

∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.

故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.

（2）∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，

∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.

故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.

14．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．

【详解】

解：（1）∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．

∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．

（2）a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n．

当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，

∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n．

15．已知等差数列满足，前项和.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前项和.

【详解】

（1）设的公差为，则由已知条件得，，

化简得，，解得，故通项公式为.

（2）由（1）得，，设的公比为，则，得，

故的前项和.