2023年浙江省杭州市部分校中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市部分校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，负数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  预计到年，中国用户将超过将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某几何体的三视图如图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆锥
C. 圆柱
D. 直三棱柱

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若成立，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示单位：，则该铁球的直径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，过外一点作的切线，点是切点，连结交于点，点是上不与点，重合的点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏游戏规则：小华投中次得分，爸爸投中次得分，两人一共投中次经过计算发现爸爸比小华多得分设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，有两张矩形纸片和，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合，当两张纸片交叉所成的角最小时，等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数是常数的图象与轴的交点坐标是，，，当时，，当时，，则(    )

A. ，至少有一个大于 B. ，都小于
C. ，至少有一个小于 D. ，都大于

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  在中，，，， ______ ．

13.  如图，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为，高为的无底圆锥形玩具接缝忽略不计，则做这个玩具所需纸板的面积是______结果保留．

14.  如图，，是的切线，切点分别是点和，是的直径若，，则的长为______ ．

15.  二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解是______ ．

16.  如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为点在边上．
当时，： ______ ；
当时，： ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作的垂直平分线，交于点不写作法，保留作图痕迹；
连接，求的度数．

19.  本小题分
有张正面分别写有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为，，用列表或画树状图求点在第一象限的概率．
随机抽取一张记下数字后不放回，再从余下的张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为，，用列表或树状图求点在第二象限的概率．

20.  本小题分
设函数是常数，，点在该函数图象上，将点先关于轴对称，再向下平移个单位，得点，点恰好又落在该函数图象上．
求函数的表达式；
若函数与函数图象相交，当时，求自变量的取值范围．

21.  本小题分
如图，在正方形中，是边上的点，的垂直平分线交，与点，，．
若正方形边长为，求的长；
求：的值．

22.  本小题分
已知二次函数．
求该二次函数图象与轴的交点坐标；
若，当时，的最大值是，求当时，的最小值；
已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段有公共点时，请求出的取值范围．

23.  本小题分
如图，内接于半径为的，连接并延长交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，．
求证：∽．
当时，求的长；
当时，设的面积为，的面积为，求的值用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
把各数进行化简，再判断即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：几何体的主视图和左视图都是长方形，
该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个三角形，
该几何体是一个三棱柱．
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
本题考查的知识点是由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【解答】
解：，原来的运算错误，故选项A不符合题意；
B.，原来的运算错误，故选项B不符合题意；
C.，原来的运算错误，故选项C不符合题意；
D.，原来的运算正确，故选项D符合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：：，则，正确，故A符合题意；
B、则，故B不符合题意；
C、，若，则，故C不符合题意；
D、，则，故D不符合题意．
故选：．
不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、交于点，
由题意得，，
则，
设圆的半径为，则，
在中，，即，
解得，，
则该铁球的直径为，
故选：．
连接、交于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可．
本题考查的市场价定理的应用、勾股定理，掌握垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：切圆于，
半径，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质定理，得到，由直角三角形的性质得到，，由圆周角定理得到．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是掌握切线的性质定理，圆周角定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：两人一共投中次，
；
小华投中次得分，爸爸投中次得分，爸爸比小华多得分，
．
根据题意得可列二元一次方程组．
故选：．
根据“两人一共投中次，且爸爸比小华多得分”，可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，四边形和四边形是矩形，
，，
，且，，
≌，
，且四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，
设，则，
，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可证，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求的长是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数是常数的图象与轴的交点坐标是，，且，
，，
，
、到和的距离至少有一个小于，
不妨设，则有：，即，
，至少有一个小于．
故选：．
根据题意易得、到和的距离至少有一个小于，进而利用二次函数的性质可进行求解．
本题考查的是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：
中，，，，


，
．
故答案为：．
根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于．

在中，．
由题意，底面周长母线长．
做这个玩具所需纸板的面积是．
故答案为．
作于利用勾股定理求出，求出圆锥的表面积即可解决问题．
本题考查圆锥的表面积、解题的关键是记住圆锥的侧面积公式、底面积公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，是的切线，切点分别是点和，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，由是圆的直径，得到，由，是的切线，得到，推出是等边三角形，得到，，因此，求出的长，即可得到的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

15.【答案】， 

【解析】解：关于的一元二次方程变形为，
因为抛物线经过点、，
所以方程的解为，，
对于方程，则或，解得或，
所以一元二方程的解为，．
故答案为，．
由于抛物线沿轴向右平移个单位得到，由于方程的解为，得到对于方程，则或，解得或，从而得到一元二方程的解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】：  ： 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
，
，
，
∽，
，
令，
，
，
，
的周长，的周长，
，
，
，
：：．
故答案为：：．
由折叠的性质得到，，由垂直的定义，平角定义得到，因此，由锐角的正切定义即可得到答案；
由∽，得到，令，得到，，得到的周长，的周长，求出，得到，即可求出：．
本题考查折叠问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明∽，由相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，来解决问题．
 

17.【答案】解：


；




． 

【解析】先根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂和算术平方根进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点为所作；

点为线段的垂直平分线与的交点，
，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
利用线段垂直平分线的性质得到，则，再利用三角形内角和计算出，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

19.【答案】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中在第一象限的有，，，，，，，，共种，
点在第一象限的概率为；
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中在第二象限的有，，共种，
点在第二象限的概率为． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点在第一象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点在第二象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

20.【答案】解：将点先关于轴对称，再向下平移个单位，得点，
，
点、在函数是常数，图象上，
，
解得，
，
函数的表达式为；
由，解得或，
函数与函数图象的交点为，，如图，
观察图象，当时，自变量的取值范围是或． 

【解析】求得点的坐标，然后把、的坐标代入即可得到，解得，即可求得；
求得两函数的交点坐标，观察图象即可求得．
本题了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，连接，
，
设，，
，
垂直平分，
，
，
，
；
过点作于点，则，
即四边形为矩形，四边形为矩形，
，，，，
，，
，
≌，
，
，，
． 

【解析】由勾股定理可求的长，即可求解；
由“”可证≌，可得，可求和的长，即可求解．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：令，，
，
，
解得：，，
二次函数图象与轴的交点坐标为，；
该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
当时，取到在上的最大值为，
．
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，取到在上的最小值．
当时，随的增大而减小，
当时，取到在上的最小值．
当时，的最小值为；
把代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
又，
当，且时，抛物线与线段有公共点． 

【解析】本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
根据题目中的函数解析式令可以求得二次函数图象与轴的交点坐标；
构建方程求出的值即可解决问题；
先根据抛物线经过点时，确定的值，再由抛物线经过点确定的值，因为当抛物线与线段有公共点时，根据抛物线经过两边的边界点可确定的范围．
 

23.【答案】证明：，
，
又，
∽；

解：，∽，
，
，
可以假设，，
，
，
，，
，
：：：，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
是直径，
，
；
，
，
解得：或舍去，
；

解：设的面积为．
，
，，，
：：，
的面积，
，
：：：，
的面积，
． 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
首先证明，，利用平行线分线段成比例定理以及勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求解即可．
设的面积为利用等高模型以及平行线分线段成比例定理，求出的面积用表示即可．
本题属于圆综合题，考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．