2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列选项中的运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图数轴上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列哪个选项的值最小(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业已经实现纳米量产，纳米毫米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  方方同学五次“立定跳远”的测试成绩分别分，分，分，分，分，对这些数据分析正确的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

5.  一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知实数，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，则之值为何(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，以原点为圆心，半径为的弧交坐标轴于，两点，是上一点不与，重合，连接，设，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，点，是半径为的上的两点，且，则下列说法正确的是(    )

A. 圆心到的距离为
B. 在圆上取异于，的一点，则面积的最大值为
C. 取的中点，当绕点旋转一周时，点运动的路线长为
D. 以为边向上作正方形，与的公共部分的面积为
 

10.  坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图形相交于、两点，与轴相交于点，其位置如图所示若：：，则的长度为何？(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为______ ．

13.  如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形根据图中标示的长度，求此长方体的体积为______ ．

14.  将一半径为的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是______ ．

15.  在中，，，则 ______ ．

16.  如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点在上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
“端午节”是我国的传统节日，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅粽、豆沙馅粽、蛋黄馅粽、蜜枣馅粽以下分别用、、、表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
爱吃粽的人数的百分比是多少？
若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
若有外型完全相同的、、、粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画树状图的方法，求他吃到粽的概率．

19.  本小题分
如图，已知和，，，点在边上，，边与相交于点．
求证：∽；
如果，，连结．
求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
已知：一次函数与反比例函数．
当时，取何值时，；直接写出结果
请说明：当取任何不为的值时，两个函数图象总有交点．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，的平分线与边相交于点，若．
求：．
如图，连结并延长，与延长线相交于点，求证：．
在条件下，连结，若，求的面积．
 

22.  本小题分
二次函数的图象与轴的交点为．
求的值．
求二次函数在轴上截得的线段长的值．
对于任意实数，规定：当时，关于的函数的最小值记作：求的解析式．

23.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，点是直径右侧半圆上一点，过点作于点，连结交于点．
求证：．
连结、，若，求证：．
如图，连结，若是的切线，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、故D符合题意；
故选：．
利用有理数的乘法的法则，绝对值，有理数的减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值即可得出答案．
本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的几何定义是解题的关键．
【解答】
解：表示的点到原点的距离最近，
最小，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：平均数为，故A选项说法错误，不符合题意；
把这个数从小到大排列为、、、、，排在最中间的数是，故中位数是，故B选项说法正确，符合题意；
众数是或，故C选项说法错误，不符合题意；
方差为，故D选项说法错误，不符合题意．
故选：．
根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一判断即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数和方差的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为．
由题意得，．
．
这个多边形的边数为．
故选：．
设这个多边形的边数为，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于度，得，从而解决此题．
本题主要考查多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和等于度是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
即：，，
，
故：答案选C．
根据“在不等式的两边都加上同一个数或式子，不等号的方向不变”．
本题考查了不等式的性质，理解不等式的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，，
．
故选：．
根据二次根式的性质求出、的值，代入求解即可．
本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作，交于点，
在中，，，
，，即，，
则的坐标为，
故选：．
过作，交于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，即可确定出的坐标．
此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，于，
，
，
，
故A不符合题意；
如图延长交圆于，此时的面积最大，
，，
的面积，
故B不符合题意；
取的中点，连接，，，
，
，
，
当绕点旋转一周时，点运动的路线是以为圆心半径是的圆，
运动的路线长是，
故C不符合题意；
如图四边形是正方形，连接，，作于，
的面积，
，
的面积的面积的面积，
，
扇形的面积，
以为边向上作正方形，与的公共部分的面积扇形的面积的面积，
故D符合题意．
故选：．
由垂径定理，勾股定理求出，延长交圆于，即可求出的最大面积，当绕点旋转一周时，点运动的路线是以为圆心半径是的圆，即可求出运动的路线长，以为边向上作正方形，与的公共部分的面积扇形的面积的面积，于是可以得到答案．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设对称轴与交于点．
，
．
对称轴．
．
：：．
：：：：
．

故选：．
根据对称轴，结合：：即可求解．
本题考查了二次函数关于对称轴对称，关键在于结合图形，找到线段的长度，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
方程的两根为、，且，
，，
．
故答案为：．
先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：设展开图的长方形的长为，宽为，
，，
解得，，
长方体的体积为：．
故答案为：．
根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆的周长为，
另一个扇形的弧长为，
设另一个扇形的圆心角为，
根据弧长公式得，
解得，
即另一个扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
先计算出另一个扇形的弧长为，设另一个扇形的圆心角为，利用弧长公式得，然后解方程即可．
本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键．弧长公式为，其中弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，在右侧作，交于点，

，
，，
，
，
，，
，
，
设，，
则，，，
，，
∽，
，即，
，
解得：或，
，
，
．
故答案为：．
作，交于点，则，，根据三角形外角性质得出，进而得到，于是，设，，则，，，易证∽，根据相似三角形的性质得，即，求出即可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，理解题意正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键．本题可直接利用黄金三角形知识解答，黄金三角形分两种：等腰三角形，两个底角为，顶角为；这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；等腰三角形，两个底角为，顶角为；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：调查的人数为人，
爱吃粽的人数的百分比为．
爱吃粽的人数的百分比为，
人．
爱吃粽的人数约为人．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中他吃到粽的结果有：，，，，，，共种，
他吃到粽的概率为． 

【解析】用爱吃粽的人数除以其所占的百分比求出抽样调查的人数，再用爱吃粽的人数除以调查总人数乘以即可．
先求出喜欢吃粽的人数的百分比，再与相乘即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及他吃到粽的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，即，
，，
，，
，
，
∽；
证明：如图，

，
，，
由可知，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形． 

【解析】由等角加同角相等可得，由和的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明∽；
根据平行线的性质得，，进而得到，由等腰三角形三线合一的性质可得，再通过证明≌，得到，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形．
本题主要考查相似三角形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练菱形的判定方法是解题关键．菱形的判定：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形平行四边形一组邻边相等菱形四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”．
 

20.【答案】解：时，，，
由得或，
两个函数图象的交点坐标为或；
图象大致如图：

由图可得：当或时，；
由得，
，
关于的一元二次方程的判别式，
，
，即总有实数解，
两个函数图象总有交点． 

【解析】时，，，由得两个函数图象的交点坐标为或，再画出图象，直接可得答案；
由得，判别式，即可证明，即总有实数解，故两个函数图象总有交点．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是根据已知，列出相应的代数式或方程组．
 

21.【答案】解：如图中，过点作于点．

四边形是平行四边形，
，，
平分
，
，
，
，
，
；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
；
解：连接，过点作于点．

，
，
，
，
，
． 

【解析】如图中，过点作于点证明是等腰三角形，可得结论；
证明∽，推出，可得结论；
连接，过点作于点利用三角形面积公式，结合中结论，解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：二次函数的图象与轴的交点为，
，
解得，
的值为；
由知，，
，
令，则，
解得，，
，
答：二次函数在轴上截得的线段长的值为；
，
，
对称轴为，
当即时，当时，有最小值，
；
当时，即，当时，有最小值，
；
当即时，当时，有最小值，
．
综上所述，的解析式为． 

【解析】把代入解析式即可；
根据求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；
先求出的解析式，再根据的对称轴，然后分，，三种情况讨论即可．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关键是利用分类讨论思想解答．
 

23.【答案】证明：是的直径，是的切线，
，
于点，交于点，
，
∽，
，
．
如图，延长、交于点，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
．
如图，连结并延长、交于点，连结、、，
、都是的切线，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由是的直径，是的切线，得，而于点，交于点，则，所以∽，得，所以；
延长、交于点，由，根据平行线分线段成比例定理得，由，得∽，则，同理，所以，则，所以；
连结并延长、交于点，连结、、，由切线长定理得，，所以，由是的直径，得，所以，则，即可运用的方法证明．
此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．