2023年浙江省杭州市萧山区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市萧山区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子：；；；中，其计算结果最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一半，八年级种了剩下任务数的，七年级共种了棵树苗则该校植树的任务数为棵．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的高线，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

7.  如图，边长为的大正方形剪去个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒若无盖纸盒的底面积与表面积之比为：，则根据题意可知，满足的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知与成正比例，且当时，若关于的函数图象经过二、三、四象限，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数为不等于零的常数，命题：点不在该函数图象上；命题：该函数图象的对称轴在轴左侧；命题：该函数图象与轴的交点位于原点的上方；命题：该函数有最小值，且最小值不大于零如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是(    )

A. 命题 B. 命题 C. 命题 D. 命题

10.  如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，若，给出下列结论：；，则下列判断正确的是(    )

A. ，都对 B. ，都错 C. 对，错 D. 错，对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______ ．

12.  计算： ______ ．

13.  一个仅装有球的不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，从中任意摸出一个球，摸出的球编号为奇数的概率是______ ．

14.  已知中，，若点在内部及边上运动，且满足，则所有满足条件的点形成的区域的面积为______ ．

15.  已知点在反比例函数图象上．
若，则 ______ ．
若，，则当自变量时，函数的取值范围是______ ．

16.  如图，矩形中，，点为上一点，将沿着翻折得到，连结若，且，则的长为______ ，的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
婷婷对“化简：”的解答过程如下：
解：原式．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．

18.  本小题分
为迎接亚运会，某校开展了“迎亚运，做好小主人”美术比赛，评分结果只有分，分，分，分，分五种现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制作如下两幅不完整的统计图．

求本次共抽取了多少份作品？
抽取的作品中评分结果为分的有多少份？
已知该校收到参赛的作品份，估计该校学生比赛成绩达到分以上含分的作品有多少份？

19.  本小题分
如图，在中，是上一点，，．
求证：．
若，求的度数．

20.  本小题分
已知函数和函数是常数，．
若两函数的图象交于点，点，求函数，的表达式．
若点向上平移个单位恰好落在函数上，又点向右平移个单位恰好落在函数上，且，求的值．

21.  本小题分
如图，正方形中，点是对角线上一点，连结并延长交于点，连结．
求证：．
若，求的值．

22.  本小题分
已知二次函数．
若，试求该二次函数图象与轴的交点坐标．
若该二次函数图象的顶点坐标为，求证：．
若，且当自变量满足时，，求的值．

23.  本小题分
如图，，是的两条直径，，点是上一点，连接，，分别交，于点，，连接，，．
若，求的度数．
求证：．
设，的面积为，的面积为，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

；


；


；


，
则．
故选：．
利用有理数的相应的法则对各式进行运算，再比较即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据，得出，再由，即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，求出是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原数据的、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据、、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
添加一个数据，方差发生变化，
故选：．
依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：该校植树的任务数为，
故选：．
该校植树的任务数为，据此求解即可．
本题主要考查列代数式，解题关键是根据题意列出植树任务的总棵数的算式．
 

6.【答案】 

【解析】解：、当，时，，本选项结论错误，不符合题意；
B、，，但与的关系不确定，本选项结论错误，不符合题意；
C、，，
直线是线段的垂直平分线，
，本选项结论正确，符合题意；
D、，但与不一定相等，本选项结论错误，不符合题意；
故选：．
根据三角形的高的概念、线段垂直平分线的性质判断即可．
本题考查的是三角形的高、线段垂直平分线的判定和性质，熟记三角形的高的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：无盖纸盒的底面积为，表面积为，无盖纸盒的底面积与表面积之比为：，
，
．
故选：．
根据无盖纸盒的底面积为，表面积为，无盖纸盒的底面积与表面积之比为：，可得，化简即可得出答案．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：与成正比例，
，
，
当时，，
，
，
函数图象经过二、三、四象限，
，
即，
解得．
故选：．
根据与成正比例，可得，代入时，得到和的关系，进而利用函数图象经过二、三、四象限确定的范围即可．
本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
 将点代入解析式得：
，
化简整理得：，
，
原方程无解，
点不在该函数图象上，故是真命题；
抛物线的对称轴为直线，
又，而，
的符号不确定，
当时，，
该函数图象与轴的交点为，
若，则函数图象的对称轴在轴右侧，与轴的交点位于原点的上方，函数有最小值，
若，则函数图象的对称轴在轴左侧，与轴的交点位于原点的下方，函数有最大值，
若是真命题，则均是假命题，
这四个命题中只有一个命题是假命题，
假命题只能是，
故选：．
将点代入解析式，即判断是真命题，进而根据二次函数的性质，开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，结合题意分析判断即可求解．
本题考查了真假命题的判断，二次函数的性质，熟练掌握掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，
．
，
∽，
，
，
．
的结论正确；
，，
，
，
∽，
，
，
．
，
．
的结论正确．
判断正确的是．
故选：．
连接，利用圆周角定理和等量代换得到，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质即可得出的结论正确；通过证明∽，利用相似三角形的性质得到，利用直径等于半径的倍，利用等量代换即可得出的结论正确．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
正数的绝对值是它本身，由此可解．
本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用同分母分式的减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减法，掌握分式加减法的法则是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，，
从中任意摸出一个球，摸出的球编号为奇数的概率是．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
如图，当点在上运动时，

，，
为等腰直角三角形，
垂直平分，
，
，
如图，当点在两边及内部运动时不包含，交于点，连接，

则，，
，
如图，当点在两边及内部运动时不包含，交于点，连接，

则，，
，
综上，当时，所有满足条件的点形成的区域为，
在等腰中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，当点在上运动时，根据等腰直角三角形三线合一的性质可知垂直平分，得到，，当点在两边及内部运动时不包含，易得，当点在两边及内部运动时不包含，易得，以此得到所有满足条件的点形成的区域为，根据三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质推出所有满足条件的点形成的区域为是解题关键．
 

15.【答案】  或 

【解析】解：点在反比例函数图象上，
，，
，
，
故答案为：；
点在反比例函数图象上，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
反比例函数中，
时，随的增大而减小，
当自变量时，函数的取值范围是或，
故答案为：或．
把、代入解析式得到，，进一步得到；
由，得到，，即可得到，求得时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质，熟知反比例函数图象和性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接，作于，

将沿着翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
，
，
，
，
解得，．
故答案为：，．
连接，作于，首先导角说明，得，利用勾股定理求出的长，设，则，在中，由勾股定理得，，求出，再根据，得，进而解决问题．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，说明是解题的关键．
 

17.【答案】解：婷婷的解答过程正确，另一种解答过程如下：



． 

【解析】根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则即可得出婷婷的解答过程正确，先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可．
本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质与化简，能灵活运用二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算是接此题的关键．
 

18.【答案】解：份，
答：本次共抽取了份作品；
得分为分的作品有：份，
答：抽取的作品中评分结果为分的有份；
份，
答：估计该校学生比赛成绩达到分以上含分的作品大约有份． 

【解析】根据分所占的百分比和作品的份数，求出总数；
用样本容量减去其他分数的数量，可得分的数量；
根据总人数和成绩达到分以上包含分所占的百分比，再乘以总数即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

19.【答案】证明：，，
∽，
，
，
，
即．
解：∽，
，
，
，
．
答：的度数为． 

【解析】根据相似三角形的判定性质，得出∽，，即可证明．
由∽，得出，再由正切函数即可得出答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质与三角函数公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：点，点在函数图象上，
，
，，
函数的表达式为，，
把点，点代入，得，
解得，
函数的表达式为；
点向上平移个单位恰好落在函数上，
点在函数上，
，
点向右平移个单位恰好落在函数上，
点在函数上，
，
，
，
，
． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
根据平移确定平移后点的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征求得，，由即可求得．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出平移后点的坐标是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
．
，
，
，
，
．
设正方形的边长为，则，，
．
四边形为正方形，
，
．
，，
，
∽，
．
． 

【解析】利用全等三角形的判定与性质解答即可；
利用等腰三角形的判定得到，设正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求得正方形的对角线为，再求得，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，，
令得，
解得或，
该二次函数图象与轴的交点坐标为，；
证明：二次函数图象的顶点坐标为，
，，
；
解：在中，令得，
由知抛物线顶点坐标为，
，当时，，
当时函数值最小为，当时，函数值最大为，
，
解得或不符合题意，舍去，
的值为． 

【解析】解一元二次方程，求出的值，即可得该二次函数图象与轴的交点坐标为，；
由顶点坐标公式可得，，即可证；
由得，抛物线顶点坐标为，及，当时，，可知当时函数值最小为，当时，函数值最大为，列出方程组可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
 

23.【答案】解：，是的两条直径，，
，
，
又，
，
，
；
证明：，，
，
又，
∽，
，
．
证明：，，
由知，
，
，
，
． 

【解析】证出，由圆周角定理得出，则可得出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
由三角形面积公式证出，则，证出，则可得出结论．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．