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    2022-2023学年广东省重点大学附属中学高一(下)期中数学试卷-普通用卷

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    这是一份2022-2023学年广东省重点大学附属中学高一(下)期中数学试卷-普通用卷,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广东省重点大学附属中学高一(下)期中数学试卷

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1.  (    )

    A.  B.  C.  D.

    2.  已知,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    3.  如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现,我们来重温这个伟大发现,圆柱的表面积与球的表面积之比为(    )

    A.
    B.
    C.
    D.

    4.  已知边长为的正三角形采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积为(    )

    A.  B.  C.  D.

    5.  是空间中的一个平面,是三条不同的直线,则(    )

    A. ,则
    B. ,则
    C. ,则
    D. ,则

    6.  棱长为的正方体中,为正方体表面上的一个动点,且总有,则动点的轨迹所围成图形的面积为(    )

    A.  B.  C.  D.

    7.  是菱形内部一点,若,则的面积与的面积的比值是(    )

    A.  B.  C.  D.

    8.  ,平面内一点,满足的最大值是(    )

    A.  B.  C.  D.

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    9.  是关于的方程的一个复数根,则(    )

    A.
    B.
    C. 的共轭复数的模为
    D. 在复平面内对应的两点之间的距离为

    10.  已知向量,其中,下列说法正确的是(    )

    A. ,则
    B. 夹角为锐角,则
    C. ,则方向上投影向量为
    D.

    11.  如图所示是正方体的平面展开图,那么在正方体中(    )

    A.
    B. 则该正方体外接球表面积为
    C. 直线和直线异面
    D. 如果平面平面,那么直线直线
     

    12.  中,角的对边分别为,则(    )

    A. ,则有两解
    B. ,则为直角三角形
    C. ,则为锐角三角形
    D. ,则

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    13.  已知轮船和轮船同时离开岛,船沿北偏东的方向航行,船沿正北方向航行如图船的航行速度为小时后,船测得船位于船的北偏东的方向上,则此时两船相距______


     

    14.  等边的边长为,点的重心,则______

    15.  某景区为提升游客观赏体验,搭建一批圆锥形屋顶的小屋如图现测量其中一个屋顶,得到圆锥的底面直径长为,母线长为如图现用鲜花铺设屋顶,如果每平方米大约需要鲜花朵,那么装饰这个屋顶不含底面大约需要______ 朵鲜花参考数据:;若是母线的一个三等分点靠近点,从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带,则灯光带的最小长度为______
     


    16.  如图,在长方体中,,点靠近点的一个三等分点,点的中点,为直线与平面的交点,则______


    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    17.  本小题
    已知的夹角为

    为何值时,

    18.  本小题
    如图,在正方体中,的中点.
    在图中作出平面和底面的交线,并说明理由;
    平面将正方体分成两部分,求这两部分的体积之比.


    19.  本小题
    如图,在中,

    求线段的面积.


    20.  本小题
    如图,在三棱锥中,

    求证:
    求点到平面的距离.

    21.  本小题
    在直三棱柱中,的中点.
    求异面直线所成角的余弦值;
    在棱上是否存在一点,使得平面平面


    22.  本小题
    中,内角的对边分别为,向量,且
    的大小;
    的最大值.

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:
    故选:
    根据向量加法、数乘的几何意义和向量的数乘运算即可得出正确的选项.
    本题考查了向量加法和数乘的几何意义,向量的数乘运算,考查计算能力,属于基础题.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:由

    故选:
    由复数的运算法则求解即可.
    本题考查了复数的运算,属基础题.
     

    3.【答案】 

    【解析】解:设球的半径为,因为球是圆柱的内切球,则圆柱的底面半径为,高为
    所以圆柱的表面积,球的表面积
    所以
    即圆柱的表面积与球的表面积之比为
    故选:
    设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为计算可得圆柱的表面积与球的表面积之比.
    本题考查空间几何体的表面积的计算,属基础题.
     

    4.【答案】 

    【解析】解:由题意,
    因为
    所以
    故选:
    先求出原图的面积,然后利用,即可求得答案.
    本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用,解题的关键是掌握,属于基础题.
     

    5.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查空间中线线线、线面间的位置关系,涉及线面垂直的判定与性质,属于基础题.
    根据空间中线线、线面位置关系进行判断即可.

    【解答】

    解:由是空间中的一个平面,是三条不同的直线,知:
    中,若
    由线面垂直的判定定理可知,当直线相交时才能得到
    若直线平行,则不能推出,故A错误;
    中,若,则,又,则可得,故B正确;
    中,若,则,又,则,故C错误;
    中,若,则相交、平行或异面,故D错误.
    故选:

      

    6.【答案】 

    【解析】解:在上底面中,,又
    平面
    平面,又平面

    同理可证,又
    平面
    平面
    的轨迹为
    所以
    故选:
    根据题意易证平面,从而可得的轨迹为,再解三角形,即可求解.
    本题考查线面垂直的判定定理,三角形面积的计算,属中档题.
     

    7.【答案】 

    【解析】解:如图,设中点为中点为

    因为,即,则


    所以的面积与的面积的比值是
    故选:
    中点为中点为,根据向量关系可得,即可表示出面积关系.
    本题考查了平面向量基本定理的应用,涉及到三角形的面积问题,属于中档题.
     

    8.【答案】 

    【解析】解:由向量关系
    可得角平分线,
    构造阿波罗尼斯圆,
    ,则:,解得圆的方程为:圆的圆心坐标,半径为
    为圆切线时,最大,
    故选:
    利用已知条件推出的轨迹方程,判断为圆切线时,最大,
    本题考查平面向量、阿波罗尼斯圆的应用.是基本知识的考查.
     

    9.【答案】 

    【解析】解:由题意得,得
    解得
    A选项错误,选项正确;
    因为的共轭复数为,所以模长为,故C选项正确;
    在复平面内对应的两点之间的距离为,故D选项正确.
    故选:
    由题意得,进而求出的值,可判断,再利用共轭复数的概念以及复数的模长公式判断,利用复数的几何意义判断
    本题主要考查了复数的运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.
     

    10.【答案】 

    【解析】解:
    ,则,解得,故A正确;
    夹角为锐角,则,解得
    又当,此时夹角为
    的取值范围为,故B错误;
    ,则
    因为方向上投影为,与同向的单位向量为
    所以方向上投影向量为C正确;

    ,故D错误.
    故选:
    对于,结合向量垂直的性质,即可求解;
    对于,结合平面向量的数量积公式,以及向量平行的性质,即可求解;
    对于,根据已知条件,结合投影向量的公式,即可求解;
    对于,结合向量模公式,即可求解.
    本题主要考查平面向量的数量积运算,考查转化能力,属于中档题.
     

    11.【答案】 

    【解析】解:如图,把正方体的平面展开图还原成正方体
    在正方体中,可知
    故异面直线所成的角即为所成的角为,故A项错误;,故C项错误;
    正方体外接球的半径,所以表面积,故B项正确;
    在正方体中,
    则平面平面,平面平面于直线,平面平面,故直线直线,故D项正确.
    故选:
    画出几何体的直观图,利用几何体中的直线与直线的位置关系判断选项,求解外接球的表面积判断即可.
    本题考查几何体的表面展开图的应用,几何体的外接球的表面积的求法,是中档题.
     

    12.【答案】 

    【解析】解:对,因为,所以有两解,故A正确;
    ,因为,所以,故,故B正确;
    ,由可得,则,所以,故C为钝角,故C错误;
    ,所以,所以,所以,所以,即,故D正确.
    故选:
    ,由正弦定理可判断;对,化简可得可判断;对,由正弦定理化角为边,再由余弦定理可判断;对,由正弦定理结合余弦定理可判断.
    本题考查了正余弦定理的应用,属于中档题.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:由题意,中,
    由正弦定理可得
    故答案为:
    由题意,中,,由正弦定理可得
    本题考查利用数学知识解决实际问题,考查正弦定理的运用,比较基础.
     

    14.【答案】 

    【解析】解:如图,过于点,则中点,
    因为为等边三角形,的重心,
    所以

    故答案为:
    根据等边三角形性质可得,代入,结合平面向量数量积的运算计算即可.
    本题考查平面向量数量积的运算,等边三角形性质,数形结合思想,属于中档题.
     

    15.【答案】  

    【解析】解:由题意知:圆锥的底面半径,母线长
    圆锥的侧面积
    装饰屋顶大约需要朵鲜花.
    将圆锥侧面沿母线展开,是侧面展开图为如图所示的扇形
    的长度即为灯光带的最小长度,
    ,在中,
    ,解得:
    即灯光带的最小长度为
    故答案为:
    求解圆锥的侧面积,即可求解装饰这个屋顶不含底面大约需要的鲜花朵数;通过侧面展开图,求解三角形的边长,即可得到灯光带的最小长度.
    本题考查圆锥的侧面积的求法,几何体表面距离的最小值的求法,是中档题.
     

    16.【答案】 

    【解析】解:作的六等分点
    可知


    连接,则三点共线平面平面

    点,


    故答案为:
    的六等分点,然后根据三点共线以及由平行对应的比列关系求解出的值即可.
    本题主要考查空间中的距离及其相关计算,属于中等题.
     

    17.【答案】解:



    ,解得 

    【解析】根据向量数量积定义和运算律可求得,进而得到
    由向量垂直可得,根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.
    本题主要考查平面向量垂直的性质,考查转化能力,属于中档题.
     

    18.【答案】解:在正方形中,直线与直线相交,
    ,连接
    平面,则平面
    平面平面E.
    平面平面
    ,连接
     的中点,得的中点,
    ,则平面将正方体分成两部分,其中一部分是三棱台
    设正方体 的棱长为

    另一部分几何体的体积为
    两部分的体积比为 

    【解析】在正方形中,直线与直线相交,设,连接,可证平面平面,得到平面平面
    ,连接,证明,则平面将正方体分成两部分,其中一部分是三棱台设正方体 的棱长为求出棱台的体积,由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.
    本题考查平面的基本性质及推理,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法,是中档题.
     

    19.【答案】解:中,由余弦定理可得

    中,由正弦定理得




     

    【解析】由余弦定理可得,可求
    由正弦定理得,可求,进而由正弦定理可求,利用三角形面积公式可求的面积.
    本题考查正余弦定理的应用,考查运算求解能力,属中档题.
     

    20.【答案】解:证明:中点,连接

    因为,所以
    又因为,且含于平面,所以平面
    又因为平面,所以
    在平面内,过点,垂足,由可知平面,又因为平面
    所以平面平面,且交于,所以平面,所以即为点到平面的距离,
    中,
    所以
    即点到平面的距离为 

    【解析】本题考查线面垂直的证明和点到平面距离的求解,利用线面垂直的判定定理证明线面垂直是关键,数形结合思想,属于中档题.
    中点,连接,即可得到,进而根据线面垂直定理可得平面,即可证得
    过点,垂足,可得即为点到平面的距离,利用余弦定理可求得,进而可得
     

    21.【答案】解:为原点,分别为轴建立空间直角坐标系.
    因为
    所以
    所以
    那么
    上中点,连接

    证明如下:
    三棱柱是直三棱.
    平面平面
    分别是的中点.

    平面平面
    平面


    四边形是平行四边形.

    平面平面
    平面

    平面平面 

    【解析】第一问可以利用空间直角坐标系把点坐标表示出来,再利用向量夹角公式求解出来即可;
    第二问只要取的中点就可以证明到.
    本题考查空间直角坐标系的作法以及两直线所成夹角问题,平面与平面平行的判定方法.
     

    22.【答案】解:,且
    根据正弦定理,



    根据余弦定理,得
    ,结合
    当且仅当时取等号
    ,则

    在区间上单调递增,
    的最大值为的最大值为 

    【解析】根据正弦定理可得,则,再根据基本不等式求最值即可.
    本题考查正余弦定理,考查基本不等式的应用,属于中档题.
     

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