2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设向量，则
A．B．C．D．
2．（5分）已知是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）的内角，，的对边分别为，，，若，则
A．B．2C．D．
4．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
5．（5分）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为
A．B．C．D．
6．（5分）已知非零向量与的夹角为，则的最小值为
A．B．C．D．
7．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则等于
A．2B．C．D．
8．（5分）梯形中，，，，，点在线段上，点在线段上，且，则
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）若直线不平行于平面，则下列结论成立的是
A．内所有的直线都与异面B．内不存在与平行的直线
C．内所有的直线都与相交D．直线与平面有公共点
10．（5分）下列四个等式中正确的有
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到的位置，则
A．
B．
C．
D．点坐标为
12．（5分）在中，，，所对的边分别为，，，，若，则的值可以为
A．2B．3C．4D．5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知为虚数单位），则 ．
14．（5分）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 ．
15．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则 ．
16．（5分）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
18．（12分）已知向量．
（1）设向量与的夹角为，求；
（2）若向量与向量垂直，求实数．
19．（12分）某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点，，在某天观察到该航船在处，此时测得，6分钟后该船行驶至处，此时测得，，，求船的速度是多少千米分钟．
20．（12分）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）若，求的取值范围．
21．（12分）已知向量，，，其中，，为的内角，，，为角，，的对边．
（1）求；
（2）若，且，求．
22．（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）设向量，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用向量的坐标减法运算得答案．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．
2．（5分）已知是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
复数在复平面内对应的点为，在第一象限．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）的内角，，的对边分别为，，，若，则
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】由已知结合正弦定理即可求解．
【解答】解：，
又，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
4．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】
【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换求出结果．
【解答】解：由于函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5．（5分）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用斜二测法求解．
【解答】解：由斜二测法知该是直角三角形，，
根据直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，
用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．
点是斜边的中点，且，
，，
的面积为．
故选：．
【点评】本题考查三角形面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知非零向量与的夹角为，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】进行数量积的运算可求出，然后配方即可求出最小值．
【解答】解：
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则等于
A．2B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
【解答】解：，
由正弦定理得，
，
，
，
，由余弦定理可得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查正弦定理，以及余弦定理，属于基础题．
8．（5分）梯形中，，，，，点在线段上，点在线段上，且，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知梯形中，，，，，点在线段上，点在线段上，且，
则，
即，
又，
则，
则，
则．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）若直线不平行于平面，则下列结论成立的是
A．内所有的直线都与异面B．内不存在与平行的直线
C．内所有的直线都与相交D．直线与平面有公共点
【分析】根据空间线面关系，直线与平面不平行，包含两种位置关系；一是直线在平面内，另一个是直线与相交；由此解答．
【解答】解：因为直线与平面不平行，所以直线在平面内，或者直线于相交，所以直线与平面至少有一个交点；
故选：．
【点评】本题考查了空间线面关系；在空间，直线与平面有：相交、平行或者在平面内，其中直线与平面不平行包括直线与平面相交和在平面内．
10．（5分）下列四个等式中正确的有
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据两角和与差的公式、二倍角公式逐一进行计算即可．
【解答】解：，正确；
，错误；
，错误；
，正确．
故选：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用，属于基础题．
11．（5分）已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到的位置，则
A．
B．
C．
D．点坐标为
【答案】
【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到的位置，
设，
则，，，，，
对于选项，，即选项错误；
对于选项，，，即选项错误；
对于选项，，，即，即选项正确；
对于选项，由，，即点坐标为，即选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的定义，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
12．（5分）在中，，，所对的边分别为，，，，若，则的值可以为
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、基本不等式与三角形内角的范围可得，再逐个选项判断即可．
【解答】解：由三角形三边关系，得到，
由，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以，且，，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，故，
根据选项可知的值可以2或3．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知为虚数单位），则 ．
【答案】．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，比较基础．
14．（5分）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 ．
【答案】．
【分析】在正四棱台中，分别取上下底面的中心、，过点作，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，在正四棱台中，分别取上下底面的中心、，有，
过点作，垂足为，则，
在△中，，故正四棱台的高为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正四棱台高的计算，属于基础题．
15．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：，
，解得，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题．
16．（5分）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】要使结论成立，只需要保证区间，能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可解．
【解答】解：因为，
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
则是函数的最小值，是函数的最大值，
，最小，则函数周期最大，此时，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数最值的问题，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数满足，，求复数．
【答案】（1）2．（2）或．
【分析】（1）根据已知条件，得到关于的方程，再求出的值；
（2）由（1）知，令，然后根据关于，的方程，求出，的值，即可得到复数．
【解答】解：（1）由复数为纯虚数，有，得．
（2）由（1）知，令，有，
又由，得，所以，
所以或．
【点评】本题考查了共轭复数和纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18．（12分）已知向量．
（1）设向量与的夹角为，求；
（2）若向量与向量垂直，求实数．
【分析】（1）根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（1），
，
．
（2）若向量与向量垂直，
则，
即，
，
，
故，解得．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于基础题．
19．（12分）某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点，，在某天观察到该航船在处，此时测得，6分钟后该船行驶至处，此时测得，，，求船的速度是多少千米分钟．
【答案】．
【分析】由条件在中利用勾股定理可求的值，在中由正弦定理可得的值，在中利用余弦定理即可求解的值，即可得解船的速度．
【解答】解：由已知条件可得中，，，
，，
在中，，，，
由正弦定理，可得，
，
在中，，
根据余弦定理可得，
，
，即船的速度是千米分钟．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（12分）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）单调递增区间为；单调递减区间为；
（3）．
【分析】（1）由已知先求出函数的周期，进而可求，然后结合五点作图法可求，进而可求函数解析式；
（2）结合正弦函数的单调性即可求解；
（3）由已知不等式结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由图知，
所以，
又，
所以，即，，
因为，
所以，
所以；
（2）令，
解得，，
令
解得，
函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
（3）由题意得，
所以，
可得，
解得，
所以的取值范围为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
21．（12分）已知向量，，，其中，，为的内角，，，为角，，的对边．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由数量积及三角形中角的关系，可得角的余弦值，再由角的范围，进而求出角的大小；
（2）由（1）及余弦定理可得的值．
【解答】解：（1）因为，，，即，
可得，在中，可得，
即，解得或（舍，
解得；
（2）因为，可得，
即，
而由余弦定理可得，
因为，
由（1）可得，所以，
所以，
所以，即，
所以．
【点评】本题考查余弦定理及三角形中角之间的关系的性质的应用，属于基础题．
22．（12分）已知锐角的内角，，的对边分别为．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）．
（2），．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值．
（2）由（1）及已知可求，利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，
又，
由，
可得，
因为，
所以，
因为，
所以．
（2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
因为，
所以，
又因为正弦定理，
所以，
因为，
所以，
所以，可得，
由三角形面积公式有，
所以，
所以面积的取值范围，．
【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式以及正切函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/16 0:05:13；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565