2022-2023学年上海市闵行区重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年上海市闵行区重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，“”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

3.  函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于点对称，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，为中点，为中点，则以下结论：存在，使得；存在，使得；它们的成立情况是(    )

A. 成立，成立 B. 成立，不成立
C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  角度大小为弧度的角是第______象限角．

6.  已知向量，，则的坐标为______ ．

7.  的值为______ ．

8.  若，，，则与的夹角为______．

9.  函数，的最大值为______ ．

10.  若弧度的圆心角所对的弧长为，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．

11.  函数的定义域为          ．

12.  在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为______ ．

13.  已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______ ．

14.  已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 ______ ．

15.  函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是______ ．

16.  设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
设，且，求的值．

18.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，，求的周长．

19.  本小题分
如图，有一条宽为的笔直的河道假设河道足够长，规划在河道内围出一块直角三角形区域图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．
若，求养殖区域面积的最大值；
现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊宽度忽略不计，若，求观赏长廊总长的最小值．

20.  本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
Ⅰ设函数，试求的伴随向量；
Ⅱ记向量的伴随函数为，求当且时的值；
Ⅲ由Ⅰ中函数的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

21.  本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式和单调递增区间；
若在中，内角，，所对的边分别为，，，，
试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

由于角的终边经过点，可得，，由此求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

【解答】

解：角的终边经过点，且点是角的终边和单位圆的交点，
，，
，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：中，因为、，所以时，，所以，即，所以，充分性成立；
当时，，即，所以，即，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
根据中，，判断为充要条件．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于函数在区间上的图像如图所示，
故，
所以；
由于函数经过点，故，
所以，
由于，
故
故，
将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，得到的图像，
再向右平移个单位长度后，得到的图像，
所得到的图像关于点对称，
故，
故，，
故，
由于，
所以当时，则的最小值为．
故选：．
首先利用函数的图像求出的值，进一步利用函数的图像的平移变换和伸缩变换的应用及函数的对称中心的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图像的平移变换和伸缩变换，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：不妨设，，，，，
，，
若，则，即，
满足条件的存在，例如，满足上式，所以成立；
为中点，，与的交点即为重心，
因为为的三等分点，为中点，
所以与不共线，即不成立．
故选：．
设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断
本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
 

5.【答案】一 

【解析】解：因为，
所以角度大小为弧度的角是第一象限角．
故答案为：一．
直接由实数的大小比较判断角的终边所在的象限．
本题考查了象限角、轴线角的概念，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据向量的坐标运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，掌握公式是解题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用余弦的和角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
又因，
所以与的夹角为．
故答案为：．
根据数量积的定义结合已知计算即可．
本题考查向量的数量积运算，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数，，
可得，
因为，
所以函数，的最大值为：．
故答案为：．
利用已知条件求解角的范围，然后求解正弦函数的最大值即可．
本题考查三角函数的最值的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
先利用扇形的弧长公式求出半径，代入面积公式进行计算即可．
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
【解答】
解：弧度是的圆心角所对的弧长为，所以圆的半径为：，
所以扇形的面积为：；
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
由，，求解的范围得答案．

【解答】

解：要使函数有意义，
则，即，．
函数的定义域为．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：由及正弦定理得：，
，
，
，，．
故答案为：．
由条件式和正弦定理、和差角公式化简即可．
本题考查用正弦定理和和差角公式解三角形，还考查了简单计算，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，当时，最小，
由，
，
，即，
，

当时，由面积法得，，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据条件可得出，从而得出，进而得出，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，；
，，，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据条件可得出，，；，，，，，，然后得出，，，这样即可得出答案．
本题考查了三角函数的周期，三角函数的图象，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数在区间内不存在零点，，
，；
或，，求得，
故正实数的取值范围为，
故答案为：
由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围．
本题主要考查正弦函数的零点，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由条件知，
，
其中当且仅当时，取到最大值，
根据条件知，任意一个长为的开区间至少包含一个最大值点，从而，即；
反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立，
综上可知，正整数的最小值为．
故答案为：．
先将函数式化简为一个角一种三角函数一次的形式，然后借助于三角函数的周期性、值域等知识求解．
本题考查考查三角函数的周期性、最值等知识与方法，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
的最小正周期为；
，
，
，
，
，



． 

【解析】根据二倍角的正弦公式和两角差的正弦公式化简得出，然后即可得出的最小正周期；
根据条件得出，然后根据的范围求出的范围，进而得出的值，然后根据展开即可求出的值．
本题考查了二倍角的正弦公式，两角和差的正弦公式，三角函数周期的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由可得；
由，得，，
由，得，又．
，，
，
的周长为． 

【解析】由余弦定理可得；
由已知可得，进而由余弦定理可求，可求周长．
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
 

19.【答案】解：时，，
所以，
又因为当且仅当时等号成立，
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
由题意，，
所以，
所以的周长，
其中．
设，则
所以．
所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为． 

【解析】本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
时，，利用基本不等式可得，可求养殖区域面积的最大值．
，，令，可得，，可求的最小值．
 

20.【答案】解：Ⅰ，故；
Ⅱ由题意得：，
故，
由于，所以，
所以，
所以；
Ⅲ，
所以，假设存在点，使得，
则，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，
故在函数的图象上存在点，使得． 

【解析】Ⅰ利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；
Ⅱ根据向量得到，利用利用凑角法得到；
Ⅲ先求出，再设出点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于较难题目．
 

21.【答案】解：由题意，
由，得，
所以增区间是；
，又，即，
所以，
由正弦定理，
当时，，，因此，只有一解；
时，，无解；
时，，，三角形只有一解，
时，，又，因此，所以有两解，可能为锐角也可能为钝角，
综上，时，三角形无解，
或时，三角形只有一解，
时，三角形有两解；
方程为，即，，
，或，
因为，所以，
记，原方程有三个解，则，
时，递增，时，递减，，
所以，即时，有两解，记两解为，，则，
综上，时，原方程有三个解，，，且． 

【解析】由数量积的坐标表示计算出并由两角和的正弦公式化简；
由正弦定理求得，再利用的范围得出三角形解的个数；
化简方程得或，由此可得时原方程有三解，从而求得三解的和．
本题考查了平面向量数量积和正弦定理的应用，属于中档题．