【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题18 正方形中“外角平分线”模型（原卷版+解析版）

        专题18 正方形中“外角平分线”模型

【模型归纳】

【典例1】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；

（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．

【变式1-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC＝2，则FC的长为　  　．

【变式1-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．

（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

【变式1-3】（春•西乡塘区期末）如图所示，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作HE⊥CH，使得HE＝CH，连接AE．

（1）求证：∠DCH＝∠AHE；

（2）如图2，过点E作EF∥AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度．

1．（2022秋•佛山期末）如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝2，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．2

2．（2021春•钦州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 　   　．

3．（2022春•长寿区期末）已知：四边形ABCD是正方形．

（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证：AE＝EF；

（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．

4．（2022春•济源期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．

经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．

请你参考小明的方法解决下列问题：

（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．

（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

5．（2021春•天元区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）请证明AE＝EF请证明．

（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请你说明理由．

6．（2020春•江川区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

（1）求证：AE＝EF；

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．

7．（2020春•南岗区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）求证：AE＝EF；

（2）若S△CEF＝2，求EF的长．

8．（2019春•望花区期末）已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）如图1，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．

9．（春•广州校级期中）正方形ABCD边长为8，E、F分别是BC、CD边上的动点，且AE⊥EF．

（1）如图①，延长EF交∠BCD的外角平分线于M点，求证：AE＝EM．

（2）如图②，若点E是BC的中点，求CF的长及△AEF的面积？

10．（2021春•莆田期末）如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；

（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．