【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题06 方程思想在勾股定理中应用（原卷版+解析版）

专题06 方程思想在勾股定理中应用

勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用。

【典例分析】

【典例1】（2021秋•峨边县期末）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【解答】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，

∴AC＝AE＝6cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82 ＝102，

∴AB＝10，

∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，

设CD＝DE＝xcm，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，

在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3，即CD＝3cm．

【变式1-1】（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？

【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．

由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．

∴BE＝4，∠DEB＝90°．

设DC＝x，则BD＝8﹣x．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．

解得：x＝3．

∴CD＝3．

【变式1-2】（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求折痕AD的长．

【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）

∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）

∴∠C＝90°；

∴△ABC是直角三角形．（1分）

（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．

设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；

∵∠AED＝∠C＝90°，

∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，

解得：x＝，（3分）

∴AD＝＝．（3分）

【典例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．

【答案】AD=12

【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵△ADB与△ACD均为直角三角形，

∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，

解得x＝9，

∴BD＝9，

∴AD＝＝＝12．

【变式2-1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．

（1）求BD的长．

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1） BD的长是   （2）84

【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．

在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，

在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，

由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．

解得x＝．

即BD的长是；

（2）由（1）知，BD＝．

Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，

即AD2＝142﹣（）2＝（）2，

∴AD＝，

∴S△ABC＝BC•AD＝×15×＝84．

【变2-2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．

【答案】8

【解答】解：延长CB，作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，BD＝y，

在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，

在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，

解方程得 y＝6，x＝8，

即AD＝8，∵AD即BC边上的高，

∴BC边上的高为8．

答：BC边上的高为8．

【典例3】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．

【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，

∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，

∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，

即：x2+16＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．

【变式3-1】（2021春•安徽月考）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．

【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：

x2﹣（x﹣4）2＝82，

解得：x＝10，

答：绳索长为10尺．

【变式3-2】（2022春•十堰月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？

【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，

即x2﹣（x﹣3）2＝82，

解得x＝，

答：绳索长为尺

【夯实基础】

1．（2022秋•路北区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则

CD＝（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】A

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠CBD＝∠DBA，

∵DE是BC的垂直平分线，

∴CD＝BD，

∴∠C＝∠CBD，

∴∠C＝∠CBD＝∠DBA，

∵∠A＝90°，

∴∠C＝∠CBD＝∠DBA＝90°＝30°，

∵AD＝4，

∴BD＝2AD＝8，

∴CD＝BD＝8，

故选A．

2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺

【答案】C

【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：

x2+82＝（x+2）2，

解得：x＝15，

所以x+2＝17．

即：这个芦苇的高度是17尺．

故选：C．

3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸

【答案】B

【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，

∴AE＝（r﹣1）寸，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，

解得：r＝50.5，

∴2r＝101（寸），

∴AB＝101寸，

故选：B．

4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 　  　cm2．

【答案】15

【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

∵将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，

∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，

∴DB＝4cm，

设EC＝DE＝xcm，

在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

解得x＝3．

∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，

∴S△ABE＝×BE×AC＝×5×6＝15（cm2）．

故答案为：15．

5．（2021秋•兴文县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　 　．

【答案】10

【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，

∴D′F＝BF，

设D′F＝x，则AF＝8﹣x，

在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，

解之得：x＝3，

∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，

∴S△AFC＝•AF•BC＝10．

故答案为：10．

6．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 　  　尺．

【答案】4.55

【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，

由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，

解得x＝4.55，

∴折断处离地面的高度为4.55尺，

故答案为：4.55．

7．（2022春•谷城县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？

【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，

根据勾股定理得：

52+（x﹣1）2＝x2，

解得：x＝13，

答：这根芦苇的长度是13尺．

8．（秋•东台市期中）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求

（1）FC的长．

（2）EF的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10cm，∠B＝90°，

∵根据折叠得出AF＝AD＝10cm，

在RtABF中，由勾股定理得：BF＝＝6cm

∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8cm，∠D＝90°，

∵根据折叠得出DE＝EF，

设EC＝xcm，则DE＝（8﹣x）cm，

在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，

x2+（10﹣6）2＝（8﹣x）2，

解得：x＝3，

即EC＝3cm．

∴DE＝EF＝5cm

9．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，

（1）求BC的长；

（2）求AE的长；

（3）求BD的长

【答案】（1）  BC=6 （2） AE=4  （3）BD=3

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝6；

（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴CD＝DE，

在Rt△BCD和Rt△BED中，

，

∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），

∴BE＝BC＝6，

∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；

（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，

在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

所以，CD＝DE＝3，

在Rt△BCD中，BD＝＝3．

10．（秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．

（1）求证：PB＝PC．

（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．

【答案】（1）PB＝PC    （2）AB＝10

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∵BH，CM为△ABC的高，

∴∠BMC＝∠CHB＝90°．

∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．

∴∠BCM＝∠CBH．

∴PB＝PC．

（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，

∴PC＝5．

∵PH＝3，∠CHB＝90°，

∴CH＝4．

设AB＝x，则AH＝x﹣4．

在Rt△ABH中，

∵AH 2+BH 2＝AB 2，

∴（x﹣4） 2+（5+3） 2＝x 2．

∴x＝10．

即AB＝10．

11．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．

（1）判断△BCH的形状，并说明理由；

（2）求原路线AC的长．

【答案】（1） △HBC是直角三角形且∠CHB＝90°   （2）AC的长为千米

【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝42+32＝25，

BC2＝25，

∴CH2+BH2＝BC2，

∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；

（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，

∴x2＝（x﹣3）2+42

解这个方程，得x＝，

答：原来的路线AC的长为千米．

12．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．

【答案】8米

【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，

根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，

解得，x＝8．

答：旗杆的高度为8米．

13.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

【答案】14.5尺

【解答】解：设OA＝OB＝x尺，

∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，

∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，

在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，

根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，

整理得：8x＝116，即2x＝29，

解得：x＝14.5．

则秋千绳索的长度为14.5尺．