【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题17 正方形中“对角互补”模型（原卷版+解析版）

         专题17 正方形中“对角互补”模型

【对角互补-模型归纳】

        在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形，

【典例1】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．

求证：CE＝DF．

【典例2】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【变式2-1】（2021春•淮北期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

【变式2-2】（2021•杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）求AG+AE的值；

（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（　　）

A．2 B．2+ C．+1 D．3

2．（秋•乐清市期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：

①D、A、E三点共线；

②DC平分∠BDA；

③∠E＝∠BAC；

④DC＝DB+DA．

其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．（巴南区校级期末）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：

①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；

其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．

求证：AE＝BF．

5．（2021秋•莆田期末）如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．

（1）求点P的坐标．

（2）当∠APB绕点P旋转时，

①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．

②请求出OA2+OB2的最小值．

6．（2020春•浦东新区期末）已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，∠EOF＝90°，如图1

（1）求证：CF＝BE；

（2）如果OG平分∠EOF，与边BC交于点G，如图2，请你猜想BG、CF和GF之间的数量关系，并证明；

（3）设正方形ABCD的边长是2，当点E在AB边上移动时，图2中的△GOF可能是等腰三角形吗？（如果可能，请求出线段BG的长；如果不可能，请说明理由．

7．（2022•岱岳区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD）．连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．

（1）如图1，求证：MA＝MN；

（2）如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．

8．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．

（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　 　（请填序号）；

（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．

①如图1，求证：AC平分∠BCD；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：

想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；

想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．

请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；

②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．

9．（石家庄二模）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为　  　；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为　    　；位置关系为　          　．