【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题16 正方形中“十字架”模型（原卷版+解析版）

          专题16  正方形中“十字架”模型

 【十字架-模型归纳】

        分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。

【典例1】（2022秋•三元区期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：

（1）△ADF≌△DCE；

（2）AF⊥DE．

【变式1-1】（2022秋•盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G．

（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；

（2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由．

【变式1-2】（2022春•广阳区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．

（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；

（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．

【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，

过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．

（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；

（2）连接BD交MN于点F．

①根据题意补全图形；

②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　   　．

1．（2022秋•碑林区校级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋•阜平县月考）如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

4．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③

5．（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．

6．（2022•碑林区校级开学）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CE上点．过点F作GH⊥CE，分别交AB、CD于点G、H，若BG＝1，CH＝5，求AG的长．

7.（2021•滨江区校级三模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．

（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．

（2）求证：BG平分∠EGF．

8．（2022春•阎良区期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．（2022秋•江北区校级期末）如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（　　）

A． B．4 C． D．

10．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　   　．

11．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：

如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．

（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；

（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；

（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．